5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　等差数列的性质 [课标解读]1.掌握等差数列的有关性质.2.能灵活运用等差数列的性质解决问题． 知识点一　等差中项 1．定义：如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项． 2．性质：(1)若A为x，y的等差中项，则有A＝． (2)在一个等差数列中，中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项． 知识点二　等差数列的性质 1．项与序号的关系 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq． 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. 2．由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)可以推广到三项的情况，即m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*，则am＋an＋at＝ap＋aq＋as. [提示]　此性质反过来不成立，当数列为常数列时，任意两项的和都相等，但是其序号和不一定是相等的．　　 1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　) A．－1　　 B．0 C．1 D．6 B　[因为{an}是等差数列，所以2a4＝a2＋a6，所以a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.] 2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14　 B．21 C．28　 D．35 C　[等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12⇒3a4＝12，所以a4＝4， 则a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C．] 3．方程x2－9x＋7＝0的两根的等差中项等于________． 解析：　设方程x2－9x＋7＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝9，所以其等差中项为＝. 答案：　 4.＋1与－1的等差中项是________． 解析：　由题得＋1与－1的等差中项为＝. 答案：　 5．在等差数列{an}中，a2＋a8＝16，a4＝6，则公差d＝________． 解析：　因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a8＝2a5＝16，所以a5＝8， 所以公差d＝a5－a4＝8－6＝2. 答案：　2 题型一　等差中项的应用 (1)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A．　　　　 B． C． D． (2)若一个直角三角形的三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是________． [点拨]　(1)⇒⇒⇒ (2)方法一：⇒⇒⇒⇒ 方法二：⇒⇒得出方程组⇒ 解析：　(1)＝＝＝. (2)方法一：设c为斜边，公差为d，则a＝b－d，c＝b＋d， 所以解得b＝4，d＝， 从而a＝3，c＝5，a＋b＋c＝12. 方法二：设c为斜边，由a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c成等差数列且面积为12，可得： 解得故三角形的周长为a＋b＋c＝12. 答案：　(1)A　(2)12 学生用书第12页 等差中项的应用策略 (1)涉及到等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解． (2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1，实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m<n).　　 即时练1.(1)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． (2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解析：　(1)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3. (2)∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 题型二　等差数列性质的应用 (1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________； (2)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值； (3)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． [点拨]　(1)利用性质：{an}，{bn}都是等差数列，则{an＋bn}也是等差数