5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5.2　等差数列 5．2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 [课标解读]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式及其应用.3.掌握等差数列的判定方法． 知识点一　等差数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． (1)定义中“从第2项起”是因为首项没有“前一项”． (2)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．　　 知识点二　等差数列的通项公式 1．通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． (1)要确定等差数列的通项公式，只需确定首项和公差； (2)在通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量：an，a1，n，d，只要知道任意三个就可求出第四个．　　 2．从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 d． 3．等差数列与一次函数的区别与联系 — 等差数列 一次函数 通项公式(解析式) an＝kn＋b(n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N*或N*的子集{1，2，3，…，n}，图象是一系列孤立的点(在直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式 4.等差数列的单调性 等差数列{an}的公差为d， (1)当d>0时，数列{an}为递增数列； (2)当d<0时，数列{an}为递减数列； (3)当d＝0时，数列{an}为常数列． 等差数列是定义域为N*或N*的子集{1，2，3，4，…，n}的一次函数的函数值． [提示]　等差数列的通项公式不一定都是关于n的一次函数，常数列a，a，a，…，a的通项公式an＝a为常函数．　　 5．等差数列通项公式的变形及推广 已知等差数列{an}中的任意两项an，am(n，m∈N*，m≠n)，则 ⇒an－am＝(n－m)d， 所以①an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ②d＝(m，n∈N*，且m≠n). (1)通项公式的变形的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． (2)若已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式；若已知等差数列中的某一项与公差，就可以确定等差数列的任意一项．　　 学生用书第9页 1．下列数列是等差数列的是(　　) A．，，，　 B．1，，， C．1，－1，1，－1 D．0，0，0，0 D　[因为－≠－，故排除A；因为－1≠－，故排除B；又因为－1－1≠1－(－1)，故排除C；对选项D，每一项与前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义．] 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.] 3．(多选)若数列{an}为等差数列，则下列说法中正确的有(　　) A．数列2a1，2a2，2a3，…，2an为等差数列 B．数列a2，a4，a6，…，a2n为等差数列 C．数列{anan＋1}为等差数列 D．数列{an＋an＋1}为等差数列 ABD　[设等差数列{an}的公差为d， 对于A中，由2an＋1－2an＝2(an＋1－an)＝2d(常数)，所以A正确； 对于B中，由a2(n＋1)－a2n＝a1＋(2n＋1)d－[a1＋(2n－1)d]＝2d(常数)，所以B正确； 对于C中，由anan＋1－an－1an＝an(an＋1－an－1)＝2and， 当d＝0时，2and＝0(常数)，此时数列{anan＋1}为等差数列； 当d≠0时，2and＝2a1d＋2(n－1)d2(不是常数)，此时数列{anan＋1}不是等差数列，所以C不正确； 对于D中，由an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝2d(常数)，所以D正确．故选ABD．] 4．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________． 解析：　(－3)－(－6)＝3，故d＝3. 答案：　3 5．已知等差数列{an}，若a3＋a5＋a10＝9，则a3＋a9＝________． 解析：　因为a3＋a5＋a10＝a6－3d＋a6－d＋a6＋4d＝3a6＝9，解得a6＝3， 所以a3＋a9＝2a6＝6.故答案为6. 答案：　6 题型一　等差数列的通项公式及其