5.1.2 数列中的递推-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5.1.2　数列中的递推 [课标解读]1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解由递推公式用累加法、累乘法求通项公式． 知识点一　数列的递推关系 1．定义：如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 数列递推公式的两个条件 (1)已知数列的第1项(或前几项)； (2)从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系都可以用一个公式来表示.　　 学生用书第5页 2.数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．　　 (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式． (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项． (4)运用递推公式给出数列，可以揭示数列的一些性质，但不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它求出数列的通项公式或者得到一个特殊数列． 知识点二　 数列的前n项和 1．概念：一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． 2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系：an＝ [提示]　an＝Sn－Sn－1成立的条件为n∈N*且n≥2，注意验证n＝1的情况． 1．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　) A．－3 B．－11 C．－5 D．19 D　[a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D．] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn.若Sn＝n2－3n＋1，则a3＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 D　[数列{an}的前n项和为Sn.若Sn＝n2－3n＋1，则a3＝S3－S2＝32－9＋1－(22－6＋1)＝2.] 3．(多选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－(n∈N*)，下列选项中能使an＝3的n为(　　) A．17 B．16 C．8 D．7 BD　[由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a8＝a17＝a2＝－，a7＝a16＝a1＝3.故选BD．] 4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________． 解析：　a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝. 答案：　 5．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析：　方法一(累加法)：由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)， 以上各式相加，得an－a1＝＝n－1. 又a1＝1，所以an＝n(n≥2)， 因为当n＝1时也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*). 方法二(迭代法)：由an＋1－an＝1，得an＝an－1＋1＝an－2＋1＋1＝an－3＋1＋1＋1＝…＝a1＋＝n(n∈N*). 答案：　n 题型一　由Sn求an 已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝8n＋5. [点拨]　当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，从而可求得an. 解析：　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式． 所以an＝4n－5. (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝8n＋5－(8n－1＋5)＝7×8n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝13，不符合上式． 所以an＝ 由数列的前n项和求通项公式的“三步曲” (1)先由数列的前n项和Sn求数列的首项，a1＝S1＝a； (2)再求第n项，an＝Sn－Sn－1，注意限制条件n≥2；　　 (3)验证a1，看是否需要分段表示通项公式：若n＝1时，(2)中的式子满足a1＝a，则直接得到通项公式；若n＝1时，(2)中的式子不满足a1＝a，则需分段表示通项公式，即通项公式为an＝ 学生用书第6页 即时练1.已知数列{an}各项均为