5.1.1 数列的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5．1　数列基础 5．1.1　数列的概念 [课标解读]1.了解数列的概念和表示方法.2.了解数列是一种特殊函数.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.4.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 知识点一　数列的概念与一般形式 1．数列：一般地，我们把按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项(或首项)，第2项……. 2．一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． (1)数列与集合的关系 数列 集合 数列的各项必须是数 集合中的元素可以是数字，也可以是其他形式 数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性，如{1，2，3}＝{1，3，2} 同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，… 集合中的元素具有互异性，如1，1，1，1…组成的集合只能写为{1} (2)数列{an}与an是不同的．{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an表示数列中的第n项．　　 知识点二　数列的表示 1．数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式． (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式，即an＝f(n)，数列的通项公式必须适合数列中的任何一项． (2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝(k∈N*)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．　　 2．数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式． 3．数列的其他表示方法 数列是特殊的函数，所以与函数一样，数列可以用通项公式来表示，也可以用平面直角坐标系中的点直观地表示． (1)图象法 由于数列的定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})，因此，数列的图象是以(n，an)为坐标的无限(或有限)个孤立的点． 学生用书第2页 (2)数列的分类 ①按项数，分为有穷数列和无穷数列． ②按单调性 类别 含义 数列的 单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 (1)函数图象是连续的曲线，数列的图象是相应函数图象上横坐标为正整数的一系列孤立的点． (2)在画图时，平面直角坐标系中两条坐标轴上的单位长度可以不同．　　 1．(多选)有下列四个结论，不正确的是(　　) A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数 C．数列的项数一定是无限的 D．数列的通项公式的形式是唯一的 ACD　[数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A不正确；数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，故B正确；数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故C错误；数列的通项公式的形式不一定是唯一的，故D错误．] 2．数列3，4，5，6，…的一个通项公式可能为(　　) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n C　[经验证可知，数列3，4，5，6，…符合an＝n＋2，故该数列的一个通项公式为an＝n＋2.] 3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 C　[由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.] 4．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，，________，，…. 解析：　根据规律可知通项为an＝，∴a5＝3. 答案：　3 5．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项． 解析：　an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24. 答案：　24 题型一　数列的概念与分类 (1)下列关于数列的说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列 (2)已知下列数列： ①2 011，2 012，2 013，2 014，2