5.2.1等差数列第2课时等差数列的性质学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第2课时　等差数列的性质 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 2．体会等差数列与一元一次函数的关系． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的________，且A＝. 状元随笔　任意两数都有等差中项吗？在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项吗？ [提示]　(1)是，任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)是，利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列． 知识点二　等差数列的性质 (1){an}是等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝________． ①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，2as＝ap＋aq. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为________数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为________的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为________的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为________的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列． 　基 础 自 测 1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 2．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　) A． B． C． D． 3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________． 4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　等差中项及其应用 例1　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 方法归纳 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)． 跟踪训练1　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． 　等差数列的性质 【思考探究】 1．数列1，2，3，4，5，6，7，8，…是等差数列吗？1，3，5，7，…是等差数列吗？2，4，6，8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？ [提示]　这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列． 2．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？ [提示]　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. 对于任意等差数列{an}，设其公差为d. 则as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d ＝2a1＋(s＋t－2)d， ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d ＝2a1＋(p＋q－2)d， 因s＋t＝p＋q，故as＋at＝ap＋aq对任意等差数列都适用． 3．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n＞k＞0)是否成立？ [提示]　在2的结论中令s＝t，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；s＝t，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立． 例2　(1)等差数列{an}，若a1＋a17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是(　　) A．a2＋a15 B．a2·a15 C．a2＋a9＋a16 D．a2·a9·a16 (2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 方法归纳 1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地