4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

4.2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 [课标解读]1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值.2.掌握两点分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 知识点　离散型随机变量的均值 1．定义：若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，简称为期望． 离散型随机变量X的均值是一个数值，是随机变量X本身具有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平． 2. 意义：离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的平均取值．在离散型随机变量X的分布列的直观图中，E(X)处于平衡位置． 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值． [警示]　根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 3．性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 4．常见分布的均值 随机变量X 均值公式 服从参数为p的两点分布 E(X)＝p X～N(n，p) E(X)＝np X～H(N，n，M) E(X)＝ 1．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝(　　 ) A． B．2 C． D．3 A　[E(X)＝1×＋2×＋3×＝.] 2．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表．若进这种鲜花500束，则期望利润是(　　 ) X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A.706元 B．690元 C．754元 D．720元 A　[节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元).故期望利润为706元．] 3.已知X的分布列如图：则Y＝4X＋1的数学期望E(Y)等于(　　 ) X －1 0 1 P a A. B．1 C． D．－ C　[由分布列的性质可知，＋＋a＝1，解得a＝， ∴E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. ∵Y＝4X＋1， ∴E(Y)＝4E(X)＋1＝4×＋1＝.] 4．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________． 解析：　E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35. 答案：　35 5．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值． 解析：　设该车主购买乙种保险的概率为P，由题意知P×(1－0.5)＝0.3，解得P＝0.6. (1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8. (2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.∴X～B(100，0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20.∴X的均值是20. 题型一　求离散型随机变量的均值 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值． [思路点拨]　→ → 解析：　由题意知X的可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是红球， ∴P(X＝2)＝＝. 当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球， ∴P(X＝3)＝＝. 当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球， ∴P(X＝4)＝