4.2.5 正态分布-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

所以X的分布列为 互动探究解疑难 X 探究一 2 [例1门(1)[解析]从轮出的正态曲线可知，该正态曲 10 10 线关于直线工=20对称，最大值是L,所以以=20， (3)由题意可得如下图表： 1 =1,解得=反，因此总体的均值=20，方 2π·g2元 家庭1978年 1988年 1998年 2008年 2018年 差g2=(2)=2. A 1 1 2 3 [答案]202 (2)[解析]由题中图象可知三科总体的平均数（均值） 2 2 相等，由正态分布密度曲线的性质，可知。总大，正态曲 线越“矮胖”越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的 0 2 标准差从小到大依次为甲、乙、丙， D 1 2 2 3 [答案]BCD 跟踪训练 E 1 2 2 3 I,ABD只有C错误，因为当：一定时，曲线的形状由G 生活质量方差最大的家庭是C,方差最小的家庭是E 确定，越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中：。越大， 曲线越“矮胖”，总体分布越分散」 随堂巩固促应用 探究二 1.D周为B(2,号） [例2][解](1)图为X~N(1,2),所以=1，a=2. P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1十2) 所以D)=2x号×(1-号)-告 =P(4一a≤X≤十a)=68.3%. 2.B因为随机变量X满足D(X)=2,所以D(3X+3)= 周为P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1)， 9D(X)=18. 所aP3<X<5)=[P(-3<X≤-P(-l<X<3 3.D由题意，得E()=1×0.4十3×0.1十5×0.5=3.2 .D()=(1-3.2)3×0.4十(3-3.2)2×0.1+(5 =2[P1-4长X<1+40-P0-2≤X≤1+2 3.2)×0.5=3.56. =z[Pg-2a≤X≤+2a)-P-≤X≤+oJ 4B已知样本方差D(X)=3.4,D(X,)=11,由此估 计，乙种水稻的方差约为3.4，甲种水稻的方差约为11. =号×(0.951-0.683)=1a.5%. 因为3.4<11，所以乙种水稻比甲种水稻分桑整齐，故 选B. P(X>5)=P(X≤-3)=21-P(-3≤X≤5)] =1-P1-4长X≤1+4]=2.3%. 4.2.5正态分布 (2)因为X服从正态分布N(1,2),所以对应的正态曲 线关于r=1对称。 自主学习探新知 又P(X≥c+1)=P(X≤e-1), 知识点一 因此c+1)c-D=1,即c=1. 2.(1)x=:中间高两边低(2)1(3)G越大σ越小 2 3.0.34130.13590.0215 跟踪训练 微判新 2.解(1)由于正态曲线在（一©，80）上是增函数， (1)(×)(2)(×)(3)() 在(80，十∞)上是减函数， 知识点二 所以正态曲线关于直线x=80对称，即参数以=80. L.面积(x)均值标准差方差 又P(72≤X≤88)=68.3%. 结合P(u一≤X≤u十a)=0.6826,可知G=8. 2.68.3%95.4%99.7% (2)周为P(4-2a≤X≤u+2a)=P(64≤X≤96) 微练习 =95.4%, 1.BD(X)=G=0.64,故选B. 又因为P(X≤64)=P(X≥96)， 2.B由P(>c十2)=P(<c一2)，可得正态曲线关于直 线x=C对称.而正态曲线关于直线x=:对称，服从正 所以P(X≤640=号×1-95.4%)=号×0.046 态分布N(3,16),所以：=3.故c的值为3. =2.3%. 知识点三 所以P(X>64)=97.7%, 1.r=0且a=1 又P(X≤72)=2[1-P(72≤X≤88] 2.P(Xa)(-oo,a)》 3.1 =2×1-6830)=15.86% 22 所以P(X≥72)=84.15%， 2.C由已知i=1.23,而a=y-ix.又x=4,y=5,∴.a P(64≤X≤72)=P(X>64)-P(X≥72)=13.55%. 5-1.23×4=0.08..y=1.23r+0.08. 探究三 互动探究解疑难 [例3解]X~N4,号）∴=4g= 探究一 [例1门(1)[解析]图A中，所有的点都在曲线上，所以 ,∴.不属于区间(3,5)的概率为 图A中的两个变量具有函数关系：图B中，所有的点都 P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5) 分布在一条直线的附近，所以图B中的两个变量具有相 =1-P(4-1<X<4+1)=1-P(4-3g<X<a+3g) 关关系：图C中，所有的点都分布在一条曲线的附近，所 ≈1一99.7%=0.3%，.1000×0.3%=3（个）， 以图C中的两个变量具有相关关系：图D中，所有的点 即不属于区间(3,5)这个尺寸范国的零件大约有3个 杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以图D中的 跟踪训练 两个变量没有相关关系， 3.解(1)由不同成绩段的人数E服从正态分布N(127,7), [答案]BC 可知平均成飨为=127. (2)[解析]对于A,学生的学籍号与学生的数学成绩 (2)P(>141)=P(>127十2×7) 没有相关关系：对于B,一般情况下，坚持每天吃早餐的 =号×[1-Pg-2≤s+2o]=0.023. 人患胃病的概率低，坚持每天吃平餐的人数与患胃病的 故得分超过141分的人数为1000×0.023=23. 人数成负相关关系：对于C,一般情况下，气温低，喝冷 随堂巩固促应用 饮的人少，气温与冷饮销售量成正相关关系：对于D,一 1.ABC因为曲线b是由曲线a平移得到的，所以以曲线 般情况下，电瓶车越重，每千米的耗电量越高，电瓶车的 重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系，综上，两个 b为概率密度蓝数的随机变量的方差和以曲线为概 率西数的随机变量的方益相等，所以D错误，其余都 变量成正相关的是选项C,D. [答案]CD 正确， 2.A根据正态曲线的特点，图象关于x■0对称，可得在 跟踪训练 区间（一2，一1）和(1,2)上取值的概率P,,P,相等， 1.D函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系， 3.解析因为XN(2,a),所以P(X<2)=P(X>2)= 但是这两种关系是不同的，函敏关系是指当自变量一定 0.5,图此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)= 时，函数值是确定的，是一种确定性的关系，因为A项 0.5-0.36=0.14. V=a',B项y=tana,C项y=ax(a>0,且a为常效)， 所以这三项均是函数关系，D项是相关关系， 答案0.14 4.解析，~N(u,),故概率密度函数关于直线x=以 探究二 例2][解](1)以x抽表示温度，以y抽表示热饮杯 对称.又P(<1D=P(>3),从而么=1片3=2，即4的 2 数，可作数点图如图 值为2. ,160热饮杯数 答案2 1401 120 4.3 统计模型 100 80 4.3.1一元线性回归模型 60 40F 20F 第1课时相关系数、回归直线方程及其性质 50510152025303540温度元 自主学习探新知 (2)从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的 知识点一 区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间是具有相关关 散点图 一次函数正相关负相关 系的，即气温越高，卖出去的热伙杯数越少 微判断 跟踪训练 (1)(√)(2)(×)(3)（√） 2.解(1)散点图如图所示， 知识点二 1.回归直线方程回归系数斜率平均数 1 120 (r+ 110 十…十x)平均数 100 90 2.(x,y)(2)b>0b<0(3)b 80 微练习 70 L.A由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B,D 0123456x 又当x=10时，A中y=100,而C中y=一300，C不符 (2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为 合实际情况，故选A y与x具有线性相关关系. 23第四章 概率与统计 家庭恩格尔系数(%) (3)如果将“贫穷”“温饱”“小康”“相对富裕” 年份 D B C , A “富裕”“极其富裕”六种生活质量分别对应 1978年 57.7 52.5 61.0 62.3 58.8 数值;0,1,2,3,4,5,请写出A,B,C,D,E五 52.6 1988年 54.2 48.3 51.9 55.4 个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大 44.7 49.0 1998年 41.6 43.5 47.4 的家庭和方差最小的家庭(结论不要求证明) 37.9 36.5 41.3 2008年 2.2 42.7 2018年 28.6 27.7 35.7 19.8 34.2 (1)从以上五个家庭中随机选出一个家庭; 求该家庭在2008年和2018年都达到了“富 裕”或更高生活质量的概率; (2)从以上五个家庭中随机选出三个家庭; 记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高 生活质量的个数为X,求X的分布列 D随堂巩固促应用 验证反 赶移运用 1.已知随机变量~B(2,2),则随机变量的 A.0.95 B.3.2 C.0.7 D.3.56 方差D()为 4.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分 #A.6 B .# 数据,计算出样本均值E(X.)一E(X) 2.已知随机变量X满足D(X)一2,则D(3X 方差分别为D(X.)=11,D(X)-3.4.由 此可以估计 ( 十3)的值为 ) ) B.18 C.8 D.6 A.20 A.甲种水稻比乙种水稻分孽整齐 3.已知随机变量;的分布列如下表,则D() B.乙种水稻比甲种水稻分孽整齐 等于 ) C.甲、乙两种水稻分孽整齐程度相同 _ D. 甲、乙两种水稻分孽整齐程度不能比较 , 3 提示请完成《素能提升训练》训练十五 P 0.4 0.1 0.5 4.2.5 正态分布 [学习任务] 1.了解二项分布与正态曲线的关系,了解正态分布与标准正态分布的概念 2.了解概率密度函数,理解正态曲线的性质. 3.掌握利用正态曲线的性质解决简单的求概率或面积问题的技巧. 47 高中数学·选择性必修 第二册(RJB) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 正态曲线 曲线与x轴在区间[a,句]内围成的 1.定义:当n充分大时,随机变量X~B(n,) 则称X服从参数为与。的正态分布,记作 X_N(,o),此时 的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟 称为X的概率 密度函数,u是X的 形”,称为正态曲线,它对应的函数为(x) ,。是x的 ,。是x的 ,xER,其中=E(X), 。V2π 2.三个特殊区间内取值的概率值: 。-D(X). P(X-l<)=P(-<X<+。)~$ 2.性质: (1)正态曲线关于 对称(即决定 P( X-l<2q)=P(-2<x<+2)$ 正态曲线对称轴的位置),具有 的特点; PP( $X-l<3)=P(-3o<X<+3) (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积 3.“3o原则”: (3)。决定正态曲线的“胖瘦”: ,说 X约有99.7%的可能会落在距均值3个标 明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以 准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的 曲线越“胖”; ,说明标准差越小,数 可能会落入这一范围之外(这样的事件可看 据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”. 成小概率事件),这一结论通常称为正态分 3.面积:正态曲线与x轴在区间,十。]内所 布的“3。原则”. 围的面积约为 ,在区间十。u十2] 微练习 内所围的面积约为 ,在区间[十2。 1.设X~N(10,0.64),则D(X)= ) u+3g]内所围的面积约为 ,如图: A.0.8 B.0.64 ##301。 C.0.642 D.6.4 2.设随机变量;服从正态分布N(3,16),若 -3r-2r-++2+3 P(c十2)=P(<c-2),则c等于( ) 微判断 C.2 A.4 B.3 D.1 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”) 知识点三 标准正态分布 (1)正态曲线中参数,a的意义分别是样本 1.定义: 的正态分布称为标 的均值与方差. 7 准正态分布 (2)正态曲线是单峰的,其与工轴围成的面 2.(a)的概念:如果X~N(0,1),那么对于任 积是随参数,a的变化而变化的 意a,通常记(a)= ,即(a)表示 (3)正态曲线可以关于y轴对称. ) N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间 知识点二 正态分布 内所围的面积 1.定义:一般地,如果随机变量X落在区间 3.(a)的性质:(-a)十(a)= [a,内的概率,总是等于(x)对应的正态 48 第四章 概率与统计 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 正态曲线 C.当n一定时,a越小,总体分布越分散; a越大,总体分布越集中 [例1] (1)已知随机变量服从正态分布,其 D.曲线关于直线x一u对称,且当x一时, 正态曲线如图所示,则总体的均值=_ 位于最高点 ,方差。2一 探究二 利用正态分布求概率 21 [例2]设X~N(1,22) (1)求P(-1<X<3),P(3<$X<5).P(X >5); 0 5 10152025303540: (2)若P(X>c十1)=P(X<c-1),求 (2)(多选)一次教学质量检测中,甲、乙、丙 的值. 三科考试成绩的正态曲线如图所示,下列说 ( 法中不正确的是 __ x(人数): ## a(分数) -II规律方法lI 利用正态分布的对称性求概率 A. 甲科总体的标准差最小 由于正态曲线是关于直线x一n对称的,且概率 B.丙科总体的平均数最小 的和为1,故关于直线x一u对称的区间上概率相 等。如: C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小, ①P(x<a)-1-P(X>a). 比丙大 ②P(x<-a)=P(x>+a). D. 甲、乙、丙总体的平均数不相回 C跟踪训练 I|I规律方法|I 2.已知随机变量X~N(.g),且其正态曲线 利用正态曲线的特点求参数1.。 在(一oo,80)上是增函数,在(80,十o0)上是 (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x一u对称 减函数,且P(72<X<88)=68.3% 由此特点结合图象求出红. (1)求参数,a的值: (2)求P(64<X<72) 点结合图象可求出。. C跟踪训练 1.(多选)下面给出的关于正态曲线的四个叙 述中,正确的是 ) A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交 B.当xi时,曲线下降;当xi时,曲线 上升 49 高中数学·选择性必修 第二册(RJB) 探究三 正态分布的实际应用 C跟踪训练 [例3] 工厂制造的某机械零件的尺寸X服 3.某校高三年级有1000人,某次数学考试 从正态分布N(4,),问:在一次正常的试 (试卷满分150分)不同成绩段的人数~ N(127,7*). 验中,取1000个零件时,不属于区间(3,5) (1)求该校此次数学考试的平均成绩; 这个尺寸范围的零件大约有多少个? (2)计算得分超过141的人数 (注:若X~N(,^),则P(-。X<+。) -68.3%,P(-2 $<+2)-95.4 $ II规律方法|I 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定,与。的值。 (2)将待求问题向-g,+。],[-2,+2] [-3o,十3]这三个区间进行转化. (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称 性和曲线与工轴之间的面积为1求出最后结果。 D随堂巩固促应用 验证反愤 迁移运用 1.(多选)把一个正态曲线a沿着横轴方向向 2.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2) 右移动2个单位,得到新的一条曲线6.下列 上取值的概率为P,P。,则二者大小关系为 ( ( ) 说法中正确的是 _ A.P-P。 A.曲线仍然是正态曲线 B.P<P。 C.P>P D.不确定 B. 曲线a和曲线6的最高点的纵坐标相等 3.(2022·新高考II卷)已知随机变量X服从 C.以曲线为概率密度函数的随机变量的 正态分布N(2,。),且P(2<X<2.5)= 均值比以曲线a为概率密度函数的随机 0.36,则P(X2.5)= 变量的均值大2 4.如果~N(,),且P(>3)=P(<1)成 D. 以曲线为概率密度函数的随机变量的 立,则一 方差比以曲线a为概率函数的随机变量 的方差大2 提示请完成《素能提升训练》训练十六 50