4.2.2 离散型随机变量的分布列-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

4．2.2　离散型随机变量的分布列 知识 层面 1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．　2.理解两点分布及其推导过程，会求离散型随机变量的分布列. 素养 层面 通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，发展数学抽象素养；在求分布列的过程中，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1.掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示：X的取值有1，2，3，4，5，6.因为骰子质地均匀，符合古典概型，其概率P(X＝i)＝，(i＝1，2，···，6)． 问题2.购买的彩票是否中奖、新生儿的性别、投篮是否命中三个实验，其实验结果有什么共同特点？ 提示：都只有两个结果． 知识点一　离散型随机变量的分布列 1．定义：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，···，xn}时，如果对任意k∈{1，2，···，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称随机变量X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 ··· xn P p1 p2 ··· pn 2.分布列的图形直观表示： [微提醒]　1.离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是表格表示； 2．由离散型随机变量的分布列能一目了然地看出随机变量X的取值范围及取这些值的概率，可以全面了解随机变量X在随机试验中取值的概率分布情况，是进一步研究随机变量数字特征的基础． 3．性质： (1)pi≥0，i＝1，2，···，n； (2)p1＋p2＋···＋pn＝1． [微提醒]　1.pi表示的是事件X＝xi发生的概率，因此每一个pi都是非负数． 2．因为分布列给出了随机变量能取的每一个值，而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的，因此p1＋p2＋···＋pn应该等于1. 另一方面，由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 知识点二　两点分布 　定义：一般地，如果随机变量的分布列能写成如下形式(其中0<p<1)： W 1 0 P p 1－p 学生用书↓第53页 则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布)． [微提醒]　1.两点分布中，随机试验X的取值只有两个可能性：0或1，且其概率之和为1； 2．由于一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验，所以两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率． 1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　 ) A． X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B． X 1 2 3 P 0.4 0.7 －0.1 C． X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D． X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 答案：C 解析：由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1. 2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量 B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量 C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量 答案：A 解析：选项A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布． 3．随机变量X的分布列如下，则m等于(　　 ) X 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 答案：D 解析：由分布列性质得＋m＋＋＝1，解得m＝. 4．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P a 则P(|X－3|＝1)＝________． 答案： 解析：由＋a＋＋＝1，得a＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 5．5个产品中有3个次品，每次从中取一个(取后不放回)，直到将3个次品都取出，记抽取次数为ξ，则ξ的所有可能取值构成的集合是________． 答案：{3，4，5} 解析：3个次品都取出的抽取次数至少3次，最多取5次． 题型一　离散型随机变量的分布列的性质 例1　已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． [思路点拨]　先由分布列的性质求出m的值，然后求出X取每一个值时对应的2X＋1，的值，再分别把2X＋1，取相同的值时所对应的概率相加，列出分布列． 解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得m＝0.3. 由题意列表如下 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (1)易得2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)易得|X－1|的分布列为 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 学生用书↓第54页 离散型随机变量分布列的性质的应用 1．利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值． 2．利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． 3．验证分布列是否正确． 对点练1.随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝. 题型二　两点分布的应用 例2　一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球． (1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列； (2)从中任意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列． [思路点拨]　两问中X只有两个可能取值，且为0，1，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率，最后列表即可． 解：(1)由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P (2)由题意知P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P 两点分布的两个特点 1．两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． 2．由对立事件的概率求法可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.F22F　　F22F 对点练2.一个袋子中装有7个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，编号为1，2，3；黑球3个，编号为1，2，3；白球1个，编号为1.从袋子中随机取出3个球，记其中白球的个数为ξ，求ξ的分布列． 解：由题意知，ξ的取值范围是{0，1}，故ξ服从两点分布．且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝1－＝.故ξ的分布列为 ξ 0 1 P 题型三　离散型随机变量的分布列 例3　袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率． [思路点拨]　(1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出X的所有可能取值，并求出相应的概率，列出分布列；(3)根据分布列转化为求概率之和． 解：(1)方法一：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝. 方法二　：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A，“一次取出的3个小球上的数字中有两个数字相同”为事件B，事件A和事件B是对立事件． 因为P(B)＝＝，所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝. (2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5. P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝. 所以随机变量X的概率分布列为 X 2 3 4 5 P (3)记“一次取球得分介于20分到40分之间”为事件C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 学生用书↓第55页 求离散型随机变量分布列的步骤 第一步——明确随机变量的所有可能取值及取每个值所对应的事件 第二步——利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率 第三步——列出分布列 注意：根据分布列的性质对结果进行检验． 离散型随机变量的分布列的性质主要有以下两个方面的应用： (1)利用“总概率之和为1”可以求出相关参数的取值范围或值； (2)利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． 对点练3.有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0，3张写有数字1，3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，3张写有数字2.如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的2张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列． 解：ξ的取值范围是{0，1，2，3，4}． P(ξ＝0)＝＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝. 因此ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 易错点　离散型随机变量的性质 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为： ξ －1 0 1 P 1－2q q2 (1)求q的值； (2)求P(ξ<0)，P(ξ≤0)． [易错分析]　此类题易忽视pi≥0(i＝1，2，···，n)这一性质而致误． [误区警示]　根据分布列的性质：pi≥0(i＝1，2，···，n)；pi＝1缺一不可． [正解]　(1)由分布列的性质得，1>1－2q≥0，1>q2≥0，＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－. (2)P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝， P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝＋1－2(1－)＝－. 学生用书↓第56页 1．(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X 答案：BCD 解析：A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，其他均符合两点分布的要求． 2．若随机变量X所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P(X＝－2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝5)＝，则P(X＝0)的值为(　　) A．0 B． C． D． 答案：C 解析：因为P(X＝－2)＋P(X＝0)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝1，即＋P(X＝0)＋＋＝1， 所以P(X＝0)＝＝，故选C． 3．某射手射击所得环数X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　) A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51 答案：C 解析：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 4．已知随机变量η的分布列如表： η 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2 则x＝________；P(η>3)＝________；P(1<η≤4)＝________． 答案：0.1　0.45　0.45 解析：由分布列的性质得0.2＋x＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.1；P(η>3)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；P(1<η≤4)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45. 课时测评13　离散型随机变量的分布列 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　) A．15a＝1 B．P(0.5<ξ<0.8)＝0.2 C．P(0.1<ξ<0.5)＝0.2 D．P(ξ＝1)＝0.3 答案：ABC 解析：由题意可得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，即15a＝1，故A正确；P(0.5<ξ<0.8)＝P(ξ＝0.6)＝3a＝＝0.2，故B正确；P(0.1<ξ<0.5)＝p(ξ＝0.2)＋p(ξ＝0.4)＝×1＋×2＝＝0.2，故C正确；P(ξ＝1)＝×5≠0.3，故D不正确． 2．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 答案：C 解析：由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]． 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　 ) A．0 B． C． D． 答案：C 解析：设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为 ξ 0 1 P p 2p 即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，所以P(ξ＝0)＝. 4．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为(　　 ) A． B． C． D． 答案：D 解析：由(＋＋＋)×a＝1，得a＝1，解得a＝.故P(<X<)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 5．设随机变量X等可能地取值为1，2，3，4，···，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y＜10)的值为(　　 ) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 答案：B 解析：Y＜10，即2X－1＜10，解得X＜5.5，即X＝1，2，3，4，5，所以P(Y＜10)＝0.5. 6．一产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ>1)的概率是________． 答案： 解析：依题意得：P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝2)，由于概率分布的总和等于1，故P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝P(ξ＝2)＝1.所以P(ξ＝2)＝，随机变量ξ的分布如下： ξ 1 2 3 P 所以P(ξ>1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝. 7．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab. X 0 2 3 P a b c 则这名运动员得3分的概率是________． 答案： 解析：由题意得，2b＝a＋c，c＝ab，a＋b＋c＝1，且a≥0，b≥0，c≥0，联立得a＝，b＝，c＝，故得3分的概率是. 8．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5.令Y＝2X－2，则P(Y＞0)＝________． 答案： 解析：由已知得Y的取值范围是{0，2，4，6，8}，且P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝8)＝＝.则P(Y＞0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝. 9．(10分)袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止．求取球次数X的概率分布列． 解：X的可能取值为1，2，3，4，5，则 第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝. 第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝×＝. 第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝××＝. 第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝×××＝. 第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝××××＝. 所以X的分布列是 X 1 2 3 4 5 P 10．(10分)已知X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P m 试求： (1)|2X－3|的分布列；(4分) (2)X2－1的分布列．(6分) 解：由分布列的性质知 ＋＋m＋＋＝1， 解得m＝. 由题意列表如下 X 1 2 3 4 5 |2X－3| 1 1 3 5 7 X2－1 0 3 8 15 24 P (1)易得|2X－3|的分布列为 |2X－3| 1 3 5 7 P (2)易得X2－1的分布列为 X2－1 0 3 8 15 24 P 11．(5分)已知随机变量ξ的分布列如下， ξ 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意，知a，b，c∈[0，1]，且解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝. 12．(5分)某人进行射击训练，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝10”表示的试验结果是(　　) A．第10次击中目标 B．第10次未击中目标 C．前9次未击中目标 D．第9次击中目标 答案：C 解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝10，则说明前9次均未击中目标，第10次击中目标或未击中目标，故选C． 13．(15分)在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场． (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数；(5分) (2)若胜场次数为X，求X的分布列．(10分) 解：(1)若胜一场，则其余为平，共有C＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有CC＋C＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况． (2)X的取值范围是{1，2，3，4}． P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 14．(15分)一袋中装有6个大小与质地相同的白球，编号为1，2，3，4，5，6，从该袋内随机取出3个球，记被取出球的最大号码数为X，写出随机变量X的分布列． 解：由题意，随机变量X可能的取值为X＝3，4，5，6，可得P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 6 P 学科网（北京）股份有限公司 $$