4.1.3 独立性与条件概率的关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

4.1.3　独立性与条件概率的关系 [课标解读]1.理解条件概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式.2.能利用概率公式解决实际问题． 知识点　独立性与条件概率的关系 当P(B)＞0时，事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)． 这就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等．也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率． (1)从必修的内容中我们已经知道，A与B相互独立(简称为独立)的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)，而且A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B是否发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A是否发生的概率； (2)多个事件之间的相互独立也可借助条件概率来理解，“A1，A2，…，An相互独立”也可说成“A1，A2，…，An相互不影响”．需要强调的是，同以前一样，实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若可认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立；已知事件相互独立时，根据每个事件发生的概率可以方便地求出它们同时发生的概率． 1．(多选)下列说法正确有(　　) A．对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则P(∩)＝P()×P() C．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B) D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 ABC　[若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以A正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故B正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故C正确；B与相互对立，不是相互独立，故D错误．] 2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　) A．互斥事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．不相互独立事件 C　[由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(AB)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.] 3．甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级的概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为(　　) A． B． C． D． D　[设A表示甲晋级，B表示乙晋级，C表示两人中恰有一人晋级，则P(A)＝，P(B)＝，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.] 4．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 解析：　设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98. 答案：　0.98 5．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________． 解析：　记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18. 答案：　0.18 题型一　相互独立事件的判断 判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”． [思路点拨]　(1)利用独立性概念的直观解释进行判断． (2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断． (3)利用事件的独立性定义式判断． 解析：　(1)相互之间没有影响，是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)从9个水果中任意取出1个，取出的是苹果与把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨，这两个事件间发生与否有影响，不是相互独立事件．