6.3 三角形的中位线 课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

第六章 平行四边形 6.3 三角形的中位线 1 学习导航 学习目标 新课导入 自主学习 合作探究 当堂检测 课堂总结 一、学习目标 1.知道什么是三角形的中位线，会画一个三角形的中位线 2.会应用三角形中位线的性质解决相关的问题 二、新课导入 仅给一把有刻度的卷尺，能否测出一沙堆底部边缘任意两点A、B间的距离？ (注意﹕不能直接测量) 思考： A B 三、自主学习 问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ A B C D E F 有三条. 如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF. 问题2：画出△ABC中的中线，说出三角形的中位线与中线的区别. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 三、自主学习 问题3：如图，DE是△ABC的中位线，与BC有怎样的关系？ D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与BC的关系 猜想： DE∥BC ？ 2DE=BC 猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 能否证明这个猜想？ 三、自主学习 证一证： 如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点， 求证：DE∥BC，DE= BC. D E F 证明： 延长DE到F，使EF=DE． 连接AF、CF、DC ． ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴CF AD , ∴CF BD , 又∵ ， ∴ DE∥BC， ． 三、自主学习 得出结论： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 1.三角形中位线定理： 2.符号语言： D E △ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点， 则DE∥BC，DE= BC． 四、合作探究 探究 三角形中位线定理的运用 问题提出1：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 问题探究： 已知三条线段的中点，结合图形可联想到 定理，再根据AB=CD 可知,①线段AB与PM、CD与PN的关系是： 、 ,即PM= . 中位线 ②还可以得到 PM∥ 、PN∥ ，利用平行线的性质，即可得到 与∠ABD、 与∠BDC的角度关系，最后可求出∠PMN的度数. PM= AB   PN= DC   PN AB DC ∠MPD ∠NPD 四、合作探究 问题解决： 解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ∵AB=CD， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD=∠ABD=20°，∠NPD+∠BDC=180°， ∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+110°=130°， ∴∠PMN=(180°-130°)÷ 2 =25°． ∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，     ∵∠BDC=70° ∴∠NPD=110° 探究 三角形中位线定理的运用 1.已知:三角形的各边分别为6cm, 8cm, 10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为 cm. 解：如图，先画出这个三角形并作出中位线. 四、合作探究 练一练 8 10 6 3 4 5 故周长=3+4+5=12. 12 四、合作探究 问题探究： 三线合一 = 探究 三角形中位线定理的运用 问题提出2：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF= (AC-AB). DC   已知AE平分∠BAC，BE⊥AE，可推出AB AD；BE⊥AE，结合等腰三角形的 性质可得BE=DE，又点F是BC的中点，可说明EF是 的中位线, 因此EF= ，再通过线段之间的等量转换可证明EF= (AC-AB). △BCD 四、合作探究 问题解决： 证明：∵AE⊥BD ∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90° ∵AE平分∠BAC ∴∠ABE=∠ADE ∵AE⊥BD ∵BF=FC ∴∠AED=∠AEB=90° ∴∠BAE=∠DAE ∴AB=AD ∴BE=DE ∴EF= DC= (AC-AD)= (AC-AB).       问题提出2：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．BE的延长线与AC边相交于点