11.4.2 平面与平面垂直-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11．4．2　平面与平面垂直 [课标解读]　1．了解二面角的定义．2．掌握二面角的求法．3．掌握平面与平面垂直的判定定理与性质定理． 知识点一　二面角 1．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 2．二面角的表示 如图所示，以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角αABβ．如果C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可记作CABD． 3．二面角的平面角 自然语言 图形语言 符号语言 在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角 α∩β＝l，O∈l，OAα，OBβ，OA⊥l，OB⊥l∠AOB为二面角αlβ的平面角 4．二面角大小的度量 二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小． 平面角是直角的二面角称为直二面角． (1)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个要素缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和二面角的平面角所在的平面与棱垂直． (2)一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小指的是它们所形成的4个二面角中不大于90°的角的大小． (3)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°．所以二面角的平面角α的范围是0°≤α≤180°．　　 知识点二　平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义 一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β．作图时，两个平面互相垂直可画成如图所示的样子． 2．平面与平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 如果lα，l⊥β，则α⊥β 学生用书第67页 3．平面与平面垂直的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 如果α⊥β，α∩β＝m，AOα，AO⊥m，则AO⊥β 1．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B　[异面直线所成的角α的范围为0°<α≤90°；直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°；二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°．故只有二面角的平面角可能为钝角．] 2．(2021·浙江省水平会考)已知直线l，两个不同的平面α，β，下列命题正确的是(　　) A．若l∥α，l⊥β，则α⊥β B．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β A　[已知直线l，两个不同的平面α，β， 对于A，若l∥α，l⊥β，则在平面α内一定存在直线m∥l，则m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确； 对于B，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故B错误； 对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或lβ，故C错误； 对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或lβ，故D错误． 故选A．] 3．(2021·安徽省单元测试)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC D　[A．由D，F分别是AB，CA的中点，所以DF∥BC， 又DF平面PDF，BC平面PDF， 可得BC∥平面PDF，故A正确． B．过P作PO⊥平面ABC，令垂足为O，则O在AE上， 又DF平面ABC，则DF⊥PO， 又DF⊥AE，PO∩AE＝O，AE、PO平面PAE， 故DF⊥平面PAE，故B正确． C．由DF⊥平面PAE，DF平面PDF，可得平面PDF⊥平面PAE，故C正确． D．若PO′⊥平面ABC，垂足为O′，则O′在AE上， 且AO′＝2O′E，又PO′与平面PDE相交于点P，平面PDE不可能垂直平面ABC， 则故D错误． 故选D．] 4．(2022·上海市模拟题)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下述错误的是(　　) A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β B．若α⊥β，mα，m⊥β，则m∥α C．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥n D．若m⊥β，mα，则α⊥β C　[A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，故A正确； B．若α⊥