11.4.2 平面与平面垂直-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第四册)

11.4.2 平面与平面垂直 一、二面角的概念 1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 2、相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． 3、画法： 4、记法：二面角或或或. 5、二面角的平面角：若有①；②，； ③，，则二面角的平面角是． 二、平面与平面垂直概念 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、图形语言： 3、符号语言：α⊥β. 三、平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 四、平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线 5、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 五、垂直问题转化关系如下所示 题型一 面面垂直的判定与性质定理 【例1】（2022秋·陕西西安·高一统考期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式1-1】（2022春·河南商丘·高一校联考期末）m，n是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ） A．若且，则 B．若，，，则直线m与n相交或异面 C．若，，，则直线m与n一定垂直 D．若，，，则m与n异面或平行 【变式1-2】（2022春·湖北·高一统考期末）已知直线与平面，则能使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D．∥， 【变式1-3】（2022春·四川宜宾·高一四川省高县中学校校考阶段练习），是空间两条直线，，是空间两个平面，则（ ） A．，，，则 B．，，，则 C．，，，则 D．，，，则 题型二 面面垂直的证明 【例2】（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，平面，，，F为棱PC上一点，满足于F．求证：平面平面； 【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，在圆锥PO中，已知，的直径，C是上一点（异于A，B），D为AC的中点．求证：平面平面PAC． 【变式2-2】（2022·高一课时练习）如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD=2CE.点F为AD中点，连接EF.求证:平面AED⊥平面ABD. 【变式2-3】（2022春·河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图，在正四棱锥中，侧棱长为，底面边长为2，点E，F分别为CD，CB中点．求证： （1）； （2）平面平面PBC． 题型三 由面面垂直证明线面垂直 【例3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，Q为棱PD的中点，．求证：平面ABCD； 【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，平面平面.证明：； 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明： 【变式3-3】（2022·高一课时练习）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，点D，E在线段AC上，且，，点F在线段AB上，且．求证：平面PFE． 题型四 求空间二面角 【例4】（2023春·全国·高一专题练习）在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023春·全国·高一专题练习）如图，棱长都相等的平行六面体中，，则二面角的余弦值为（ ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为__． 【变式4-3】（2022·高一课时练习）如图，在直二面角中，四边形和四边形都是矩形，，，P，Q，G分别是的中点，求二面角的正切值． 题型五 平面图形折叠后的垂直问题 【例5】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，