11.4.2 平面与平面垂直-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

11.4.2　平面与平面垂直 　　 建筑工人砌墙时为了保证墙面与地面垂直,常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,如图,这样就能保证墙面与地面垂直。若要判断两平面是否垂直,根据上述问题能得出什么方法? 借助长方体,通过直观感知、了解空间中平面与平面垂直的判定定理与性质定理。 知识点一、二面角的概念 　　1.定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 2.相关概念 (1)这条直线称为二面角的棱。 (2)两个半平面称为二面角的面。 3.画法 4.记法 二面角α⁃AB⁃β或C⁃AB⁃D或α⁃l⁃β或A⁃l⁃B。 5.二面角的平面角 在二面角α⁃l⁃β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角。二面角的大小等于它的平面角大小。特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角。 知识点二、平面与平面垂直 　　1.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面互相垂直。 (2)画法: (3)记作:α⊥β。 2.判定定理 文字语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直 图形语言 符号语言 l⊥α,l⊂β⇒α⊥β 　　3.性质定理 文字语言 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β 微提醒 　　判定定理的关键词是“过另外一个平面的一条垂线”,所以应用的关键是在平面内寻找另外一个面的垂线。 微思考 　　理解二面角的平面角定义中关键词“射线”,判断二面角的取值范围。 提示:“射线”夹角并不是两条直线的夹角,所以二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°。 类型一 面面垂直的判定 　　【例1】　 如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B两点的任意一点,PA⊥平面ABC。 (1)求证:平面PBC⊥平面PAC; (2)若AE⊥PC,E为垂足,F为PB上任意一点。求证:平面AEF⊥平面PBC。 证明　(1)因为AB是☉O的直径, 所以∠ACB=90°,即AC⊥BC。 因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以PA⊥BC。 因为AC∩PA=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC。 因为BC⊂平面PBC, 所以平面PBC⊥平面PAC。 (2)由(1)知BC⊥平面PAC, 因为AE⊂平面PAC,所以AE⊥BC。 又因为AE⊥PC,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC。 因为AE⊂平面AEF, 所以平面AEF⊥平面PBC。 　　证明面面垂直常用的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角。 (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直。 (3)性质定理法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面 【变式训练】　 如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=AA1,D是棱AA1的中点。证明:平面BDC1⊥平面BDC。 证明　由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1。 又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC。 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, 所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC。 又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC。 又DC1⊂平面BDC1, 故平面BDC1⊥平面BDC。 类型二 面面垂直的性质 　　【例2】　 如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,AC⊥BC。求证:AM⊥平面EBC。 证明　因为平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,BC⊥AC, 所以BC⊥平面ACDE。 又AM⊂平面ACDE,所以BC⊥AM。 因为四边形ACDE是正方形,所以AM⊥CE。 又BC∩CE=C,BC,EC⊂平面EBC, 所以AM⊥平面EBC。 　　证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理。本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理。利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线 【变式训练】　 如图,在三棱锥P⁃ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC。求证:BC⊥AB。 证明　 在平面PAB内,作AD⊥PB于D。 因为平面PAB⊥平面PBC, 且平面PAB∩平面PBC=PB, 所以AD⊥平面PBC。 又BC⊂平面PBC,所以AD⊥