11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11．1．6　祖暅原理与几何体的体积 [课标解读]　1．了解祖暅原理．2．掌握柱体、锥体、台体的体积．3．掌握球的体积． 知识点一　祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异． 祖暅原理的三个条件 (1)两个几何体夹在两个平行平面之间； (2)几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截； (3)截得的两个截面面积总相等．　　 知识点二　柱体的体积 　棱柱与圆柱统称为柱体． 由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等． 如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh． 特别地，底面半径为r，高为h的圆柱体的体积计算公式为V圆柱＝πr2h． 知识点三　锥体的体积 棱锥与圆锥统称为锥体． 由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体，体积相等． 一般地，如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝Sh． 特别地，如果圆锥的底面半径为r，高为h，则圆锥的体积为V圆锥＝πr2h． 知识点四　台体的体积 棱台与圆台统称为台体． 一般地，如果台体的上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝(S2＋＋S1)h． 特别地，如果圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，则圆台的体积为V圆台＝πh(r＋r2r1＋r)． 学生用书第45页 知识点五　球的体积 一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝πR3． 球的体积公式的推导 作球O，将球O的表面分成n个小网格，把球心与每一个小网格的顶点连接起来，整个球体被分割成n个“准锥体”． 当n无限增大时，每一个小锥体“曲”的底面几乎变成“平”的，此时，每个“准锥体”就近似于棱锥，从而可得球的体积公式V＝·4πR2·R＝πR3．　　 1．下列命题中正确的是(　　) A．夹在两条平行线间的两个平面图形，若被截得的线段相等，则这两个平面图形的面积相等 B．经过长方体相对的两个面的中心的任意平面，把长方体分成体积相等的两个柱体 C．夹在两个平行平面间的棱柱和圆柱，若轴截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 D．夹在两个平行平面间的任意几何体，只要截面面积相等，则体积相等 B　[选项A显然不正确；选项C不满足祖暅原理中的条件②和③；选项D不满足祖暅原理中的条件②．] 2．(2022·云南省单元测试)已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为 (　　) A．48 B．64 C．16 D．96 B　[设正方体的棱长为a， ∵正方体的表面积为96， ∴S＝6a2＝96，解得a＝4， ∴正方体的体积为V＝43＝64． 故选B．] 3．(2022·广西壮族自治区河池市联考)已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为(　　) A． B．4 C． D．4 A　[正四棱锥的底面积为2×2＝4，正四棱锥的高为＝， ∴该正四棱锥的体积为V＝××4＝． 故选A．] 4．(2021·广东省深圳市月考)圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　) A．π B．2π C．π D．π D　[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2, S＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝． ∴V＝π(1＋4＋2)×＝π． 故选D． ] 5．(2021·安徽省单元测试)已知球的体积为π，则球的大圆面积是________． 解析：　∵球的体积为π， ∴R＝2， ∴球的大圆面积是πR2＝4π， 故答案为4π． 答案：　4π 题型一　柱体的体积 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体和圆柱的体积的比值为________． 点拨：　→→ 解析：　由于正方体和圆柱等高，故设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为a，圆柱的底面半径为r， 则正方体的侧面面积为4a2，圆柱的侧面面积为2πra． 又4a2＝2πra，所以r＝， 所以正方体的体积为V正方体＝a3， 圆柱的体积为V圆柱＝πr2a＝，故＝． 即这个正方体和圆柱的体积的比值为． 答案：　 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．在具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素．　　 即时练1． (2022·全国单元测试)在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为4的正三角形，则此三棱柱的体积为________． 解析：　∵AA1⊥平面AB1C1，∴AA1⊥AB1，AA1⊥AC1，∵AA1＝1，A1B1＝A1C1＝4， ∴AB1＝AC1＝，取B1C1的中点D，连接AD，则AD⊥B1C1， ∴AD＝ ＝，S△AB1C1＝×B1C1×AD＝2 ，