11.1.6 祖暅原理与体积-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第四册)

11.1.6 祖暅原理与体积 一、祖暅原理 1、内容：幂势既同，则积不容异。 2、含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。 3、应用：等地面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 二、柱、锥、台、球的体积公式 名称 体积 柱体 锥体 台体 球 其中,分别表示上、下底面的面积，表示高，表示球的半径。 题型一 柱体的体积 【例1】（2023·全国·高一专题练习）长方体中由一个顶点出发的三个侧面的面积分别为、、，则该长方体的体积为______. 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知圆柱的全面积为，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为，则圆柱的体积是______. 【变式1-2】（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校考期中）已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（ ） A．30 B．15 C．10 D．60 【变式1-3】（2023春·河南濮阳·高一濮阳外国语学校校考期中）一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要__________立方米混凝土（钢筋体积略去不计）． 【变式1-4】（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中学校考期中）如图所示，现有一张边长为的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形，，（剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩形，，折起，构成一个以为底面的无盖正三棱柱． （1）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高； （2）求所折成的正三棱柱的表面积为，求该三棱柱的体积． 题型二 锥体的体积 【例2】（2023·全国·高一专题练习）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）．得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱堆称为鳖臑（图4）记该长方体斜解所得到的阳马和鳖臑的体积分别为，，则__________． 【变式2-1】（2023春·天津西青·高一天津市第九十五中学益中学校校考期中）如图，正方体的棱长为，是棱的中点，则三棱锥的体积为______. 【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（ ） A．3 B． C．6 D． 【变式2-3】（2023春·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期中）已知圆锥的顶点为，过母线的截面面积是.若的夹角是，且母线的长是高的2倍，则该圆锥的体积是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023春·山东枣庄·高一统考期中）如图，圆锥的底面半径为3，此圆锥的侧面展开图是一个半圆． （1）求圆锥的表面积； （2）若圆锥的底面圆周和顶点S都在球的球面上，求球的体积． 题型三 台体的体积 【例3】（2023春·全国·高一专题练习）水库是我国防洪广泛采用的工程措施之一.已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔下降到时，减少的水量约为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·海南·高一海南中学校考期中）已知一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，体积为，则该正四棱台的高为（ ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023春·高一平湖市当湖高级中学校联考期中）龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇官盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高，盆口直径，盆底直径.现往盆内倒入水，当水深时，盆内水的体积近似为（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023春·北京东城·高一景山学校校考期中）如图是一个正四棱台的石