11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第四册（人教B版）

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 　　“鸟巢”位于北京奥林匹克公园内、北京城市中轴线北端的东侧,建筑面积25.8万平方米。这个体育场能容纳观众10万人,其中临时座席2万个。它是北京奥运会的一座标志性建筑,是北京奥运会留下的宝贵遗产,同时也将成为北京市民广泛参与体育活动及享受体育娱乐的大型专业场所。如何求解鸟巢体积的近似值? 熟记柱体、锥体、台体、球的体积的计算公式,并可以利用公式解决简单的实际问题。 知识点一、祖暅原理 　　1.定义 幂势既同,则积不容异。 2.理解 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等。 3.应用 (1)柱体的体积:等底面积、等高的两个柱体,体积相等。 (2)锥体的体积:等底面积、等高的两个锥体,体积相等。 知识点二、柱体、锥体、台体与球的体积公式 几何体 体积 说明 柱体 V柱体=Sh S为柱体的底面积,h为柱体的高 锥体 V锥体=Sh S为锥体的底面积,h为锥体的高 台体 V台体=(S'+ +S)h S',S分别为台体的上、下底面面积,h为台体的高 球 V球=πR3 R为球的半径 微提醒 　　柱体、台体、锥体的体积公式之间的关系V柱=ShV台=(S'++S)hV锥=Sh。 微思考 　　运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么? 提示:需要三个条件,分别是: (1)这两个几何体夹在两个平行平面之间。 (2)平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面。 (3)两个截面的面积总相等。 类型一 柱体、锥体、台体的体积 　　【例1】　 如图所示,三棱台ABC⁃A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1⁃ABC、三棱锥B⁃A1B1C、三棱锥C⁃A1B1C1的体积之比。 解　设棱台的高为h,S△ABC=S,则=4S。 所以=S△ABC·h=Sh, =·h=Sh。 又V台=h(S+4S+)=Sh, 所以=V台--=Sh-Sh-Sh=Sh, 所以∶∶=1∶2∶4。 　　多面体体积计算的常用方法 (1)计算柱体体积的关键:确定柱体的底面积和高。 (2)三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥,分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系,割补法在立体几何中是一种重要的方法。 (3)求台体体积的关键是求出上、下底面的面积和台体的高。要注意充分利用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系 【变式训练】　 如图所示,在长方体ABCD⁃A'B'C'D'中,用截面截下一个棱锥C⁃A'D'D,求棱锥C⁃A'D'D的体积与剩余部分的体积之比。 解　设AB=a,AD=b,AA'=c, 所以VC⁃A'D'D=CD·S△A'D'D=a·bc=abc, 所以剩余部分的体积为 VABCD⁃A'B'C'D'-VC⁃A'D'D=abc-abc=abc, 所以棱锥C⁃A'D'D的体积与剩余部分的体积之比为1∶5。 类型二 与球有关的体积问题 　　【例2】　已知正四面体ABCD的外接球的体积为4π,求正四面体的体积。 解　 解法一:将正四面体ABCD置于正方体中。 正四面体的外接球即为正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角线长即为球的直径。设外接球的半径为R, 由V球=R3=4π,得R=, 所以AB=2, S△BCD=×2×2×sin 60°=2。 点A到平面BCD的距离h=, 所以VA⁃BCD=S△BCD×h=。 解法二:如图所示,设外接球的半径为R, 由已知得R3=4π,故R=。 因为AE为球的直径,故AD⊥DE,AE⊥O1D。 设AD=a,则O1D=×a=a, 故AO1=a,O1E=2R-AO1=2-a。 由Rt△AO1D∽Rt△DO1E,得O1D2=AO1·O1E,解得a=2。 故V=×a2·AO1=。 　　(1)求解与球有关的切接问题时先要认真分析题中已知条件,明确切点或接点的位置,正确作出截面图,再分析相关量间的数量关系。 (2)本例解法既可侧重整体求法,也可侧重用平面几何知识来寻求几何体的核心量,显然前者更为巧妙、简洁 【变式训练】　(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为 (　　) A. B. C. D. 解析　由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是×π×13=。 答案　A (2)如图为某组合体的直观图,它的中间为圆柱,左右两端均为半球,若图中r=1,l=3,则该组合体的体积为　　　　。  解析　V=V球+V柱=π·13+π×12×3=π。 答案　π 1.一个球的表面积是16π,则它的体积是 (　　) A.64π B. C.32π D. 解析