9.1.2 余弦定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

9．1．2　余弦定理 [课标解读]　1．理解余弦定理的证明．2．掌握余弦定理的应用． 知识点一　余弦定理 文字表述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 公式表述 a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 另一种形式 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 对余弦定理的理解 (1)余弦定理对任意的三角形都成立． (2)关键词：“平方”“夹角”“余弦”． (3)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得三角形中未知的量． (4)余弦定理的第二种形式适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题． (5)余弦定理的常见变式：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C．　　 知识点二　余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： (1)已知三边，解三角形； (2)已知两边及其夹角，解三角形． (1)余弦定理把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (2)余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时，要根据条件灵活选择． (3)因为余弦函数在[0，π]上是单调减函数，所以由cos α＝m(－1≤m≤1)确定的角α是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角更合适．　　 1．(2021·云南省历年真题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A． B． C．2 D．3 D　[∵a＝，c＝2，cos A＝， ∴由余弦定理可得： cos A＝＝＝， 整理可得：3b2－8b－3＝0， 解得：b＝3或－(舍去)． 故选D．] 2．(2021·广西壮族自治区历年真题)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 D　[设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 结合余弦定理，可得19＝a2＋4－2×a×2×cos120°， 即a2＋2a－15＝0，解得a＝3，或a＝－5(舍去)， 所以BC＝3．故选D．] 3．在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，那么角A等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° B　[因为在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以c2＋b2－a2＝bc， 所以cos A＝＝＝， 又角A是△ABC的内角， 所以A＝60°． 故选B．] 4．(2021·浙江省金华市单元测试)在△ABC中，若C＝，a＝2，b＝3，则边c＝(　　) A．4 B．16 C． D．10 C　[由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝4＋9－2×2×3× ＝7， ∴c＝． 故选C．] 5．(2020·江苏省无锡市期中考试)在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b＝________． 解析：　由题意a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝72－2×8＝33， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝33－2×8×＝25， 所以b＝5． 答案：　5 学生用书第6页 题型一　已知三边解三角形 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． 点拨：　 ―→―→ 解析：　由已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)，由余弦定理，得cos A＝＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝45°． 方法一　cos B＝ ＝＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°， ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°． 方法二　由正弦定理可知＝， 即sin B＝＝＝， 又0°<B<180°，且b<c， ∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180－45°－60°＝75°． 已知三角形的三边解三角形的方法 基本解法是先用余弦定理求出一角，然后用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角．在用正弦定理求第二个角时，要借助“大角对大边”，提前判断所求角是否为锐角，一般先求较小边对应的角．　　 即时练1．(2020·江苏省泰州市月考试卷)在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． B　[在△ABC中， ∵a＝7，b＝4，c＝， ∴由大边对大角可知，边c所对的角C最小， 由余弦定理可得： cos C＝＝＝． ∵0<C<π，∴C＝． 故选B．] 题型二　已知两边及一角解三角形 (1)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝