11.4.1 直线与平面垂直-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11．4　空间中的垂直关系 11．4．1　直线与平面垂直 [课标解读]　1．理解异面直线所成的角．2．了解直线与平面垂直的定义．3．掌握直线与平面垂直的判定定理．4．理解直线与平面垂直的性质定理．5．理解直线与平面垂直的应用． 知识点一　直线与直线所成角 1．异面直线所成的角 如图所示，a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小． 研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．　　 2．异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是0°<θ≤90°． 3．空间两直线垂直的定义 空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m． 显然，若a∥b且b⊥c，则一定有a⊥c． 知识点二　直线与平面垂直及其判定定理 1．直线与平面垂直的定义 自然语言 图形语言 符号语言 直线l与平面α垂直的充要条件是，直线l与平面α内的任意直线都垂直 l⊥αmα，l⊥m (1)定义中的“任意直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同．定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直． (2)画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直．　　 2．直线与平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 如果mα，nα，m∩n＝O，l⊥m，l⊥n，那么l⊥α (1)该定理可简述为：若线线垂直，则线面垂直． (2)该定理的作用是证明线面垂直．　　 知识点三　直线与平面垂直的性质 自然语言 图形语言 符号语言 线面垂直的判定定理推出的结论 如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 若l∥m，l⊥α，则m⊥α 线面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 若l⊥α，m⊥α，则l∥m (1)结论和线面垂直的性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起，完成了平行关系与垂直关系的相互转化． (2)结论可以看作平行线的性质，也可看作线面垂直的判定；线面垂直的性质定理可以看作线面垂直的性质，也可看作线线平行的判定．　　 知识点四　直线与平面垂直的应用 1．直线与平面所成的角 如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，AB是平面α的垂线段．类似地，如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α 学生用书第63页 的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足． 不难看出，过平面外同一点的垂线段与斜线段，能够看成一个直角三角形的两条边．如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，则△ABC是直角三角形，其中AB⊥BC．另外，因为B为A在平面α内的射影，所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影．特别地，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角． (1)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段． (2)求一条直线与平面所成的角，可先作出直线在平面内的射影，从而得到直线与平面所成的角，再进一步求解．　　 2．有关距离问题 因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义的，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离． 1．(多选)已知三条直线两两垂直，则下列说法错误的是(　　) A．这三条直线必共点 B．其中必有两条直线不同在任一平面内 C．三条直线不可能在同一平面内 D．其中必有两条直线在同一平面内 ABD　[三条直线两两垂直的情况共有三种： (1)三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内； (2)三条直线中只有两条相交，此时只有这两条在同一平面内； (3)三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直线不在同一平面内．因此，只有C选项是正确的．故选ABD．] 2．(2021·浙江省湖州市期末考试)在正方体ABCD －A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角是(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° C　[ 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1B、BC1、A1C1， ∵AB∥DC∥D1C1，且AB＝DC＝D1C1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形， ∴AD1∥BC1， ∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角， ∵A1B＝BC1＝A1C1＝＝AB， ∴∠A1BC1＝60°， ∴异面直线A1B与