9.1.1 正弦定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

9．1　正弦定理与余弦定理 9．1．1　正弦定理 [课标解读]　1．理解三角形的面积公式．2．掌握正弦定理及其应用． 知识点一　三角形的面积公式 一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝absin_C＝acsin_B＝bcsin_A． 知识点二　正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 在△ABC中，设A，B所对的边分别为a，b由正弦函数在区间上单调递增可知： (1)当A，B都为锐角时，若A>B，则sin A>sin B，由正弦定理＝知a>b； (2)当A，B中一个为锐角，另一个为钝角时，不妨设A>B，由于A＋B<π，即B<π－A，所以sin B<sin (π－A)＝sin A，即sin A>sin B，由正弦定理＝知a>b； (3)当A，B中一个为直角，另一个为锐角时，不妨设A为直角，则A>B，所以sin A>sin B，由正弦定理＝知a>b． 综上可知，在△ABC中，若A>B，则a>b．　　 知识点三　解三角形 习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 利用正弦定理解三角形时，经常用到下列结论： (1)A＋B＋C＝π． (2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C． (3)在△ABC中，a＋b>c，|a－b|<c；A>Bcos A<cos B；a>bA>Bsin A>sin B；sin A＋sin B>sin C． (4)若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，A＋C>，B＋C>；A＋B>A>－Bsin A>cos B，cos A<sin B．　　 1．(2021·全国月考试卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　) A．1∶∶ B．1∶∶2 C．∶∶2 D．1∶2∶3 B　[在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3， 由A＋B＋C＝π，可得A＝，B＝，C＝， 所以sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2， 由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2．故选B．] 2．(2021·全国期中考试)在△ABC中，已知cos A＝，B＝，BC＝，则AC＝(　　) A． B． C． D．6 A　[∵cos A＝，∴sin A＝＝， 再由正弦定理可得：＝，即＝ AC＝，故选A．] 3．在△ABC中，已知BC＝6，AC＝4，sin A＝，则角B＝(　　) A． B． C． D． A　[由正弦定理得＝，即＝，可得sin B＝，∵BC＝6>AC＝4，∴A>B，即B为锐角，∴B＝，故选A．] 学生用书第2页 4．(多选)(2022·广东省期中考试改编)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(　　) A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60° C．a＝7，b＝5，A＝80° D．a＝14，b＝16，A＝45° BD　[A：∵A＝45°，C＝70°， ∴B＝65°，又b＝10， ∴由正弦定理＝＝， 得a＝＝，c＝， 此时三角形只有一解，不合题意； B：由正弦定理可知，＝，即sin B<sin C<1，所以角C有两解，符合题意； C：∵a＝7，b＝5，A＝80°， ∴由正弦定理＝，得sin B＝， 又b<a，∴B<A＝80°， ∴B只有一解，不合题意； D：∵a＝14，b＝16，A＝45°， ∴由正弦定理＝， 得sin B＝＝>， ∵a<b，∴45°＝A<B， ∴B有两解，符合题意， 故选BD．] 5．(2021·山东省菏泽市单元测试)在△ABC中，满足＝的三角形是________三角形． 解析：　因为＝，即acos B＝bcos A， 所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝0， 即sin(A－B)＝0， 因为A，B为△ABC的内角， 所以A＝B， 所以△ABC是等腰三角形． 答案：　等腰 题型一　已知两角与任意一边解三角形 (1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b． (2)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c． 点拨：　(1)思路一　―→ 思路二　―→ (2)―→ 解析：　(1)方法一　∵A＝45°，C＝30°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°。 由＝得a＝＝＝10 ． ∵sin 105°＝sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30° cos 45°＋cos 30°sin 45°＝， ∴b＝＝20×＝5＋5． 方法二　设△ABC外接圆的半径为R， 则2R＝＝＝20． 易知B＝180°－(A＋C)＝105°， ∴a＝2Rsin A＝20×sin 45°＝10 ， b＝2Rsin B