8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

8．2．2　两角和与差的正弦、正切 [课标解读]1．两角和与差的正弦公式；2．两角和与差的正切公式． 知识点一　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S(α＋β) sin (α＋β)＝ sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差 的正弦 S(α－β) sin (α－β)＝ sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R 应用两角和与差的正弦公式应注意以下几点 (1)和差角的正弦公式不能按分配律展开，即 sin (α＋β)≠sin α＋sin β， 如sin ≠sin ＋sin ． (2)α，β中有一个角为的整数倍时，利用诱导公式较为简便．　　 知识点二　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan (α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差 的正切 tan (α－β)＝ T(α－β) α，β，α－β≠ kπ＋(k∈Z) 公式T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．　　 1．tan 75°＝(　　) A．2＋ B．1＋ C． D．2－ A　[tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝2＋．故选A．] 2．(2021·安徽省亳州市期末考试)在△ABC中，cos A＝－，tan B＝，则tan (A－B)＝(　　) A．－2 B．－ C． D．2 A　[因为A∈(0，π)， 由cos A＝－得sin A＝，则tan A＝－1， 则tan (A－B)＝＝＝＝＝－2． 故选A．] 3．的值为(　　) A． B．1 C． D．2 B　[因为＝＝×tan (45°－15°)＝×＝1． 故选B．] 4．(2021·浙江省单元测试)函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)的最大值是(　　) A．1 B．2 C．－ D． B　[∵函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R) ＝2(sin x－cos x) ＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin (x－60°)， ∴函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)的最大值为：2． 故答案为2．] 5．在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin (A－B)的值是________． 解析：　在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，所以sin (A－B)＝sin A cos B－cos A sin B＝×－×＝． 答案：　 学生用书第54页 题型一　利用两角和差公式求三角函数式的值 求下列各式的值： (1)； (2)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°； (3)(tan 10°－) ·； (4)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)． 点拨：　(1)观察式子不难发现47°＝17°＋30°，然后结合两角和的正弦公式即可求解； (2)观察式子我们不难发现45°＝12°＋33°，然后逆用两角和的正切公式即可求解； (3)化切为弦，再逆用两角差的正弦公式； (4)先由式子(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)展开可得1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24° ，结合第(2)小题的结构特征我们即可快速求解． 解析：　(1)原式＝ ＝ ＝＝． (2)∵＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1， ∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°， ∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1． (3)原式＝(tan 10°－tan 60°)· ＝· ＝· ＝－·＝－＝－2． (4)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°·tan 24°． 由tan 45°＝tan (21°＋24°)＝＝1，得 tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1， ∴(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2， 同理可得(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， ∴原式＝2×2＝4． 1．解给角求值问题的基本思路 给角求值问题中，所给角往往都是非特殊角，解决