2024年苏科版九年级数学中考提优几何模型8：角平分线六大模型讲义

冲刺中考 中考提优几何模型八角平分线六大模型 几何专题八：角平分线六大模型 模型一：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB=PA. 典型例题 例1：（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB吧，若BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是 ; （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC. 例2：如图，在四边形ABCD中，BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°. 例3：如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= . 作业训练 1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　） A．3：2 B．6：4 C．2：3 D．不能确定 2.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是30cm²，AB=8cm，BC=7cm，则DE= . 3.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 . 4.如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，∠DAB =90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则的值是___________. 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC、∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为 . 6．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的有 .（填序号） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④． 7.如图，BD平分△ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE⊥BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长． 模型二：截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≌△OPA. 典型例题 例1：已知在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长. 例2：在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+CD 作业训练 1.已知：如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD. 2.如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE. 3.（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由； （2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由. 4.AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20． （1）如图1，若AB＝AC，求AC的长； （2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长． 模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B，则△AOB是等腰三角形. 典型例题 例1：如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂直为E.求证：BD=2CE. 例2：如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证:∠2=∠1+∠C. 作业训练 1.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，AD⊥CD于点D,DE∥BC交AB于点E，求证:EA=EB. 2.如图，已知△ABC，∠BAC＝45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE＝BC． （1）求证：CD＝DE； （2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由； 3.如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E.求证： 4.如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，求DE的长度. 模型四:角平分线+平行线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过P点作PQ∥ON，交OM于点Q，则△POQ是等腰三角形. 典型例题 例1：解答下列问题： （1）如图①，△ABC中，EF∥BC，点D在EF上.BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、C