2024年中数学专题复习 一次函数与几何 讲义

一次函数与几何 例1．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　） A．2或1 B．3或 C．2或 D．3或1 分析：根据题意解方程得到x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝1，求得OA＝1，OB＝2，根据勾股定理得到AB，①当∠ACD＝90°时，如图1，②当∠ADC＝90°时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 解：∵AP⊥AB， ∴∠BAP＝∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝∠CAD+∠BAO＝90°， ∴∠ABO＝∠CAD， 在y＝﹣2x+2中， 令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝1， ∴OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB， ①当∠ACD＝90°时，如图1， ∵△AOB≌△DCA， ∴AD＝AB， ∴OD＝1； ②当∠ADC＝90°时，如图2， ∵△AOB≌△CDA， ∴AD＝OB＝2， ∴OA+AD＝3， 综上所述：OD的长为1或3． 故选：D． 例2．如图，长方形ABCD中，点B与原点O重合，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，CF所在的直线方程为，则折痕EF的长为 　 　． 分析：由直线方程可得OF和CO的长，利用点E是AD的中点及长方形的性质可得AE和DE的长；连接CE，由翻折可知△AEF≌△GEF，易证Rt△CDE≌Rt△CGE，则CD＝CG，设AF的长为m，则FG＝m，CD＝CG＝m，在Rt△OCF中，利用勾股定理建等式，求出m的值，再利用勾股定理求出EF的长即可． 解：如图，连接CE， ∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点F， ∴C（12，0），F（0，）， ∴OC＝12，OF， 在长方形AOCD中，AD＝OC＝12，OA＝CD，∠A＝∠D＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE＝6， 由折叠可知，AE＝EG，AF＝FG，∠A＝∠EGF＝90°， ∴∠D＝∠EGC＝90°，AE＝EG＝DE， ∵CE＝CE， ∴Rt△CDE≌Rt△CGE（HL）， ∴CD＝CG， 设AF的长为m，则FG＝m，CD＝OA＝CG＝m， ∴CF＝FG+CG＝2m， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得，OF2+OC2＝CF2， ∴2+122＝（2m）2，解得m＝2（负值舍去）， 在Rt△AEF中，由勾股定理可得，EF2． 故答案为：2． 例3．一次函数y＝kx（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点． （1）求一次函数解析式和m的值； （2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）将点A，点B代入一次函数解析式可得； （2）分情况讨论D点位置，利用三角形全等求解． 解：（1）把点A（1，0），B（0，m）代入y＝kx， 得，解得，， ∴一次函数解析式为y，m的值为； （2）存在， ∵△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形， ①当BC＝CD1时， ∵∠BCD1＝90°， ∴∠M1CD1+∠OCB＝∠OCB+∠OBC＝90°， ∴∠M1CD1＝∠OBC， 在Rt△M1CD1和Rt△OBC中， ， ∴Rt△M1CD1≌Rt△OBC（AAS）， ∴CM1＝OB，D1M1＝OC＝1， ∴点D1（1，1）； ②当BC＝BD2时，类比①可证Rt△BD2M2≌Rt△CBO（AAS）， ∴BM2＝OC＝1，D2M2＝OB， ∴点D2（，）； 综上所述，D点坐标（1，1）或（，）． 例4．如图，直线yx+6交x轴于A，交y轴于B，把△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，且点D在x轴正半轴上，延长AB交CD于点E． （1）求直线CD的解析式； （2）点P为线段DE上一点，连接PA、PB，点Q为OD边上一点，若∠PQC＝2∠OCQ，PQ+CQ＝PA，求点P的坐标． 分析：（1）先求出A（﹣12，0），B（0，6），再由旋转的性质求得C（0，12），D（6，0），运用待定系数法即可求得直线CD的解析式； （2）如图，延长PQ交y轴于F，过点P作PH⊥x轴于点H，作PG⊥OC于点G，连接AF，先证明△COQ≌△FOQ（ASA），再由PQ+CQ＝PA，可得PF＝PA，进而可证得△PHA≌△PGF（AAS），得出PH＝PG，建立方程求解即可得出答案． 解：∵直线yx+6交x轴于A，交y轴于B， ∴A（﹣12，0），B（0，6）， ∴OA＝12，OB＝6， ∵把△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD