5.1.2数列中的递推 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5．1.2　数列中的递推 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法：递推公式． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　数列递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的________________； ②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的________公式． 状元随笔　由数列的递推公式能否求出数列的项？ [提示]　能，但是要逐项求． 知识点二　数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项______(或前几项)之间的关系 表示an与______之间的关系 联系 (1)都是表示________的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 知识点三　数列的前n项和 一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． 知识点四　an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 　基 础 自 测 1．已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，则该数列的第5项等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N＋ B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2 3．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a5＝________． 4．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，则a5＝________. 　课堂探究·素养提升——强化创新性 　由递推关系写数列的项 例1　(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 022＝(　　) A．2 B．－3 C．－ D． (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　) A．31 B．32 C．61 D．62 方法归纳 由递推公式写出数列的项的方法 1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． 2．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1. 3．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝. 跟踪训练1　(1)已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项． (2)已知数列{an}，a1＝2，且an＋1＝(n≥1)，则a2 021＝(　　) A．－1 B．2 C．－2 D． 　由数列的若干项归纳递推公式 例2　分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项． (1)4，5，7，10，14，…； (2)7，9，11，13，15，…； (3)2，6，18，54，162，…. 方法归纳 由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可；由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式，依次求出各项即可． 跟踪训练2　(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则a2＝a1＋________，a3＝a2＋________，a4＝a3＋________，由此归纳出an＝an－1＋________． (2)图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，这个数列的递推公式为________． 　由an与Sn的关系求通项公式 例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________． 方法归纳 已知Sn求an的三个步骤 1．利用a1＝S1求出a1. 2．当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． 3．看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ 跟踪训练3　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________． (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，求通项an. 　数列的递推公式与通项公式的关系 【思考探究】 1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列