湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高一下学期第三次月考数学试卷

2021-2022学年(下)学期第三次月考 高一数学试卷 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单选题(本大题共8小题,每题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题意) 1.若复数满足,其中为虚数单位,则的虚部为( ) A. B. C. D. 2.已知非零向量满足,且,则向量夹角的大小为( ) A. B. C. D. 3.中,角,,,的对边分别为,,,若,,,则( ) A. B. C. D. 4.某班分成了A､B､C､D四个学习小组学习二十大报告,现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示,则组和组恰有一个组被抽到的概率为( ) A. B. C. D. 5.已知正三棱柱的所有棱长均相等,点为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 6.元宵节是春节之后的第一个重要节日,元宵节又称灯节,很多地区家家户户都挂花灯.下图是小明为自家设计的一个花灯,该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成,若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm,正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm,则该花灯的体积为( ) A. B. C. D. 7.一个电路如图所示,A,B,C,D为4个开关,其闭合的概率均为,且是相互独立的,则灯亮的概率为( ) A. B. C. D. 8.对于函数和,设,,若存在,,使得,则称和互为“零点相邻函数”,若函数与互为“零点相邻函数”,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共 4 小题,每题5分,共 20 分,每小题有多个选项符合题意,全部选对得 5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标,常用内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高,现随机抽取8位小区居民,他们的幸福指数分别是3,4,5,6,6,7,8,9,则( ) A.这组数据的极差是6 B.这组数据的平均数是5 C.这组数据的第70%分位数是7 D.这组数据的方差是3.5 10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件“第一枚正面朝上”,事件“第二枚正面朝上”,下列结论中正确的是( ) A.该试验样本空间共有个样本点 B. C.与为互斥事件 D.与为相互独立事件 11.在三角形ABC中,点D足AB边上的四等分点且,AC边上存在点E满足,直线CD和直线BE交于点F,若,则( ) A. B. C.的最小值为17 D. 12.如图,在正四棱锥中,,,分别是,的中点,则下列说法正确的是( ) A. B.直线和所成角的余弦值是 C.点到直线的距离是 D.点到平面的距离是2 三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分) 13.在中国共产主义青年团建团100周年之际,某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动,高一、高二、高三年级的团员人数分别为100,200,300,若按分层抽样的方法选派,则高一年级需要选派的人数为 14.已知向量,,则在方向上的投影数量为 . 15.在矩形中,,,点E,F分别为BC,AD的中点,点H为AE的中点,将沿直线AE翻折至的位置,当时,三棱锥的外接球的体积是 . 16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径,两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点,,测得,,,,则,两点间的距离为 . 四、解答题(本大题共6 小题,共 70分,17题为10分,18-22每题12分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知向量=(,),,=(1,). (1)若,求的值; (2)若,求的值. 18.如图,四棱锥的底面为正方形,为的中点. (1)证明:平面; (2)若平面,证明:. 19.我校近几年加大了对学生强基考试的培训,为了选择培训的对象,今年我校进行一次数学考试,从参加考试的同学中,选取50名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成六组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,第6组,得到频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题: (1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数; (2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级,其中成绩不小于90分时为优秀等级,若从第5组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率. 20.某品牌电脑售后保修期为一年,根据1000台电脑的维修记录资料(保修期内所有电脑维修次