湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高一下学期期中测试数学试卷

2021-2022学年（下）学期高一数学期中测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意) 1．复数（其中为数单位）的共轭复数在复平面中对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点则与同方向的单位向量为 A． B． C． D． 3．已知单位向量，的夹角为，那么|＋2|＝（       ） A． B． C． D． 4．设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 5．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（    ） A．平面平面 B． C．平面 D．与相交 7．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 8．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（    ） A．18π B．16π C．14π D．12π 二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．的最大值为2 C．存在，使 D．的最大值为3 10．如图，正方体中，，点Q为的中点，点N为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与为异面直线 B． C．直线与平面所成角为 D．三棱锥的体积为 11．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ） A．直三棱柱的侧面积是 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．三棱锥的体积与点的位置有关 D．的最小值为 12．已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（    ） A．是奇数 B．的最大值为7 C．不存在，使得是偶函数 D． 三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13．已知复数，（为虚数单位）在复平面上对应的点分别为，，则的面积为________． 14．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 ． 15．已知满足，则的最小值为________． 16．如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________. 四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知复数. （1）求； （2）若复数z是方程的一个根，求实数，的值. 18．已知的内角所对的边分别为，若向量，，且 （1）求角 （2）若，求角 19．如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 20．如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设． (1)求的值； (2)若为边长等于2的正三角形，求的值． 21．中，已知，，为上一点，，. (1)求的长度； (2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值. 22．如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面，，其中为上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 参考答案 单选题CABD CADA 多选题BCD AB ABD ACD 填空题 13. 2 14． 15． 16． 解答题 17．. ∴. （Ⅱ）因为复数z是方程的一个根， 所以， 所以解得a=b=2. 18． （1）∵向量，，且， ∴, ∵，∴, ∵,∴. （2）在中，，，由正弦定理得： ， ∴ ∵,∴,∴或. 19．（1）连接交于点，连接，如图， 则为的中点， 由于是的中点，故， ∵平面，平面， 所以平面； （2）连接，， 因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 由底面是菱形，得， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则为二面角的平面角，