导数的应用——证明不等式-2024届高三数学一轮复习

华师一附中一轮复习补充作业5 一.证明一元函数不等式,构造函数求最值,放缩法,拆分法 1.若,求证: 2.证明: 3.当时,求证: 4.证明: 5.证明:对 6.已知,,证明:;(2)求函数的单调区间;(3)证明:。 7.证明 8.已知函数,(1)求的最小值;(2)证明 9.已知函数,(1)若,判断函数的单调性;(2)证明: 10.当时,证明: 11.求证: 12.证明: 13.证明: 14.证明: 二.证明多变量函数不等式: 1.含参的函数不等式的证明 1.已知函数,其中为正实数,证明:当时,. 2.已知函数,当时,求证: 3.已知函数 (1)若不等式在上恒成立,求的取值范围; (2)证明不等式: 4.已知(1)令若有两个零点,求实数的取值范围;(2)证明:当时,. 5.当时,求证:. 2.与零点或极值点有关的不等式证明: 6.设函数,设函数与的图象交于两点,求证:. 7.已知函数 设函数,若存在两个极值点, 证明: 8.证明:当时, 9.知函数,斜率为的直线与函数的图像交于点 。证明:且 10.已知函数。(1)讨论的单调性;(2)若有两个不同的零点,为其极值点,证明: 11已知函数 (1)讨论的单调性; (2)若有两个零点,证明: 12.已知函数 (1)讨论的单调性 (2)设函数,若存在使,证明: 13.已知函数. (1)若不等式恒成立,求实数的取值范围; (2)若函数有三个不同的极值点,且,求实数的取值范围. 14.已知函数有三个极值点,且,求的取值范围. 三、证明数列不等式 1.已知数和满足,且对任意都有 (1)求数列和的通项公式; (2)证明: 2.设函数, (1)讨论函数的单调性; (2)证明: 3.已知函数 (1)若不等式在上恒成立,求的取值范围; (2)证明不等式: 4.已知(1)令若有两个零点,求实数的取值范围;(2)证明:当时,. 5.已知函数 (1)讨论的单调性; (2)若函数的最大值为,求证: 6.已知函数 (1)讨论的单调性;(2)判断与的大小并证明. 7.已知函数 (1)当时,恒成立,求的取值范围; (2)设,求证. 8.已知函数 (1)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围; (2)证明: 9.已知函数 (1)求函数的最小值; (2)证明: 学科网(北京)股份有限公司 $$一轮复习补充作业5参考答案：导数的应用一一证明不等式 一、证明一元函数不等式：构造函数求最值、放缩法、拆分法 1.证明：要证2-nx+x-1<1,即证2-nx+x+x-x+1<x+1即证n-X+L>0, x+1 令H=nx-x+,则有H=1-2x-J= 7=F-)-2x,xe(0,),x-1<0,-2x<0, ∴H'(x)<0在(0,1)上恒成立，即得函数H(x)在(0，)上单调递减，H(x)>H①=0 2证明：要正+血<心，甲运1+号·令函数g1+,则8- 令g'(x)>0,得xe(0,e):令g'(x)<0,得xe(e,+o).所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调 遥减.所以g以=g@)=1+。令函数)-号则)=-2到 当x∈(0,2)时，h(x)<0:当x∈(2，+o)时，(x)>0. 3.证明：要证：e-xr-(e-)r-l0,即证：g-hx-e-)≥0， 构造函数K)=g-mr-上e-),则K国)=K-1e-山 x x>0时，e-1>0,x∈(0，I)时，K'(x)<0,K(x)在(0,1)单调递减， “xe(1,+∞)时，K(x)>0,K(x)在(L,+o)单调递增，∴K(x)≥K(1)=0,故原不等式成立. 4解法1：即证2。nx>0,令98子nx,X>0,08)字X-e-e义. e2 x e'x2 r(x)=2(x-1)e*-e'x,r(x)=2xe*-e2, r(x)在(0，+∞)，上单调递增，t)<0,r(2)>0,故存在唯一的x∈(L,2)使得r(x)=0,∴(x)） 在(0，x。)上单调递减，在(x,+o)上单调递增，r(0)<0,r(2)=0,∴当x∈(0,2)时，r(x)0, x∈(2，+∞)时，r(x)>0:所以0(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， ∴.φ(x)2φ(2)=1-ln2>0,得证. 解法2：即证： 器>gp)=x09-E.当x02到时 e'x φ'(x)<0,x∈(2，+∞)时，p'(x)>0:所以φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 2p(2r6)rl当xe时r.xee+时， r(x)<0,所以rx)在(0，e)上单调递增，在(e,+o上单调递减，r(x)sr(@)= 2>之x),2<x,得证 :.φ(x)222e e2 x2 x 5.证明：g)=en(+_-x-hn(r+lx>0.对任意x>0,g)<1+e等 2 x1