2024年中考专题复习 一次函数的实际应用 讲义　

一次函数的实际应用 例1．某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信套餐业务，甲套餐使用者每月需缴18元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.15元；乙套餐使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.25元．若一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种的费用分别为y1、y2元，请解答下列问题： （1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式． （2）根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更合算？ 分析：（1）分别利用两种收费方式得出函数解析式即可； （2）分别令y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2得出最佳业务方案． 解：（1）由题意得：y1＝0.15x+18（x≥0）， y2＝0.25x（x≥0）； （2）①令y1＜y2得0.15x+18＜0.25x， 解得：x＞180， ②令y1＝y2，即0.15x+18＝0.25x， 解得：x＝180， ③令y1＞y2得0.15x+18＞0.25x， 解得：x＜180， ∴当通话时间大于180分钟时，选择甲种业务更优惠； 当通话时间等于180分钟时，选择两种业务一样优惠； 当通话时间小于180分钟时，选择乙种业务更优惠． 例2．某班购买笔记本作为奖品．现有甲、乙、丙三种型号的笔记本，乙笔记本比甲笔记本的单价贵2元，花60元买甲笔记本与花100元买乙笔记本的数量相同． （1）求甲、乙笔记本的单价； （2）若需购进甲、乙笔记本共60本，且乙笔记本数量不少于甲笔记本数量的，则如何购买才能使得费用最少？ （3）已知丙笔记本的单价为10元/本，该班同时购买3种笔记本，共花费600元．若甲笔记本数量是乙笔记本的3倍，则最多可购买3种笔记本共多少本？ 分析：（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x+2）元，根据花60元买甲笔记本与花100元买乙笔记本的数量相同列出方程解方程，验根即可； （2）设购买甲笔记本m本，则乙笔记本（60﹣m）本，费用为w元，根据总费用等于两种笔记本费用之和写出函数关系式，再根据乙笔记本数量不少于甲笔记本数量的，求出m的取值范围，由函数的性质求函数最值； （3）设购买乙笔记本a本，则甲笔记本3a本，丙笔记本b本，由购买3种笔记本，共花费600元，可以得到a，b之间的关系，再由60a＞0，且a是5的倍数，求出a的最大值即可． 解：（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x+2）元， 由题意，得， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意， x+2＝3+2＝5（元）． 答：甲、乙笔记本的单价分别为3元和5元； （2）设购买甲笔记本m本，则乙笔记本（60﹣m）本，费用为w元， 由题意可得：60﹣mm， 解得：m≤48， w＝3m+5（60﹣m）＝300﹣2m， ∵﹣2＜0， ∴w随着m的增大而减小， ∴m＝48时，w有最小值为204元， ∴购买甲笔记本48本，乙笔记本12本，费用最少； （3）设购买乙笔记本a本，则甲笔记本3a本，丙笔记本b本， 由题意可得：3×3a+5a+10b＝600， ∴7a+5b＝300， ∴b＝60a， ∵60a＞0， ∴a＜42，且a是5的倍数， ∴a最大为值为40， ∴笔记本总数为3a+a+b＝4a+60a＝60a＝60+104＝164（本）． ∴最多可购买3种笔记本共164本． 例3．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 150 排球 100 120 （1）求该商场采购费用y（单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； （3）受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了3m（m＞0）元/个，同时排球批发价下调了2m元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求m的值． 分析：（1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买篮球和排球的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）设总利润为W，求出W与x的关系式，运用一次函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润； （3）根据100个球全部卖出获得的最低利润是2300元分情况讨论得出结果，最终确定出m的值． 解：（1）根据题意得，y＝120x+100（100﹣x）＝20x+10000； ，解得50≤x≤60， ∴y＝20x+10000（50≤x≤60）； 答：采购费用y与x的函数关系式为y＝20x+10000（50≤x≤60）； （2）设总利润为W，根据题意得：W＝（150﹣120）x+（120﹣100