3.2函数与方程、不等式之间的关系 第2课时课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时 整体概览 （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？ 问题1　阅读课本本节内容，回答下列问题： （1）本节将要研究函数的零点存在定理及二分法求方程近似解． 整体概览 （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？ 问题1　阅读课本本节内容，回答下列问题： （2）起点是函数的零点，函数的零点与对应方程的根之间的关系，以及利用函数的图像求解对应不等式的解集．目标是理解函数零点存在定理，会用函数的性质判断对应方程是否有实根，会利用“二分法”找到实根的近似值等．重点是渗透数形结合的数学思想，二分法，提升学生直观想象、数学抽象、数据分析和逻辑推理等素养． 复习引入 我们知道：一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式． 复习引入 问题2　关于x的一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的求根公式为________； 一元二次方程的求根公式为 （有实根时） ____________________________． 复习引入 问题3　对于次数大于或等于3的多项式函数（例如f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d，其中a≠0），以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在求根公式）．那么，什么情况下一个函数一定存在零点呢？ 新知探究 问题4　如下图所示，已知A，B都是函数y＝f（x）图像上的点，而且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线，画出3种y＝f（x）的可能的图像．判断f（x）是否一定存在零点，总结出一般规律． 新知探究 可以看出，满足要求的函数f（x）在区间（a，b）中一定存在零点． 零点存在定理：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的 图像是连续不断的，并且f（a）f（b）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点，即∃x0∈（a，b），f（x0）＝0． 强调：一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的．需要注意的是，反比例函数y＝　的图像不是连续不断的． 新知探究 问题5　例1中的函数在区间（－2，0）中存在零点x0，但是不难看出，求出x0的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？比如，能否求出一个x1，使得|x1－x0|＜　？ 新知探究 【尝试与发现】 如果在区间（－2，0）中任取一个数作为x0的近似值，那么误差小于多少？ 如果取区间（－2，0）的中点作为x0的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？ 如果在区间（－2，0）中任取一个数作为x0的近似值，误差小于2； 如果取区间（－2，0）的中点作为x0的近似值，误差小于1． 新知探究 【尝试与发现】 怎样才能不断缩小误差？ 一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示． 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 （－2，0） f（－1）＝－1＋2＋2＝3＞0 1 （－2，－1） 　　　 ＝　　 ＋3＋2＝　＞0 新知探究 【尝试与发现】 怎样才能不断缩小误差？ 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 　　　 ＝　　 ＋3＋2＝　＞0 新知探究 【尝试与发现】 怎样才能不断缩小误差？ 其中第2行的区间是（－2，－1），这是因为f（－2）f（－1）＜0，其他区间都是用类似方式得到的．最后一行的函数值没有计算，是因为不管　　　　　　，还是　　　　　　，我们都可以将　看成x0的近似值，而且误差小于　． 当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值． 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法． 新知探究 二分法的求解步骤： 在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f（a）f（b）＜0），给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下： 第一步　检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取　　　　，计算结束；如果不成立，转到第二步． 第二步　计算区间（a，b）的中点　　 对应的函数值，若　　　　　，取　　　　，计算结束；若　　　　　，转到第三步． 新知探究 二分法的求解步骤： 在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f（a）f（b）＜0），给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下： 第