3.1.3函数的奇偶性第2课时 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.3 函数的奇偶性 第2课时 整体概览 （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？ 问题1　阅读课本本节内容，回答下列问题： 复习引入 问题2　上节课我们学习了哪些知识？ 新知探究 【尝试与发现】已知函数f（x）满足f（5）＝－3，分别在条件“f（x）是偶函数”与“f（x）是奇函数”下求出f（－5）的值． 如果f（x）是偶函数，则f（－5）＝f（5）＝－3； 如果f（x）是奇函数，则f（－5）＝－f（5）＝3． 新知探究 【尝试与发现】已知函数y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，且它们的部分图象如下图所示，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律． 如果y＝f（x）是偶函数，那么其在x＞0与x＜0时的单调性相反； 如果y＝f（x）是奇函数，那么其在x＞0与x＜0时的单调性相同． 新知探究 【证一证】已知函数f（x）是奇函数，而且在（0，＋∞）上是增函数，求证：f（x）在（－∞，0）上是增函数． 证明：方法一：任取x1，x2∈（－∞，0），且x1≠x2，则 因为－x1＞0，－x2＞0，而且－x1≠－x2．又因为f（x）在（0，＋∞） 上是增函数，于是有 从而可知　　　，即函数f（x）在（－∞，0）上是增函数． 新知探究 【证一证】已知函数f（x）是奇函数，而且在（0，＋∞）上是增函数，求证：f（x）在（－∞，0）上是增函数． 证明：方法二：任取x1，x2∈（－∞，0）， 因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，于是有 由此可知，函数f（x）在（－∞，0）上是增函数． 设x1＜x2，则－x1＞0，－x2＞0，而且－x1＞－x2． f（－x1）＞f（－x2）． 又因为f（x）是奇函数，所以f（－x1）＝－ f（x1），f（－x2）＝－ f（x2）， 因此－f（x1）＞－f（x2），即f（x1）＜f（x2）． 若函数f（x）是偶函数，则函数f（x）在关于原点对称区间上的单调性相反；若函数f（x）是奇函数，则函数f（x）在关于原点对称区间上的单调性相同． 新知探究 练习　若函数f（x）是偶函数，而且在（0，＋∞）上是增函数时，可以得到f（x）在（－∞，0）上的增减性． 新知探究 例1　已知函数f（x）满足f（5）＜f（3），分别在下列各条件下比较f（－5）与f（－3）的大小： （1）f（x）是偶函数；（2）f（x）是奇函数． 解： （1）因为f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x），因此 f（－5）＝f（5），f（－3）＝f（3）， 从而由条件可知f（－5）＜f（－3）． 9 新知探究 例1　已知函数f（x）满足f（5）＜f（3），分别在下列各条件下比较f（－5）与f（－3）的大小： （1）f（x）是偶函数；（2）f（x）是奇函数． 解： （2）因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），因此 f（－5）＝－f（5），f（－3）＝－f（3）， 又由条件可知－f（5）＞－f（3），从而f（－5）＞f（－3）． 10 新知探究 例2　设函数f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋4x． （1）求f（x）的表达式； （2）证明f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数． 解： （1）当x＜0时，－x＞0，所以 f（－x）＝（－x）2＋4（－x）＝x2－4x． 因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）， 所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2－4x）＝－x2＋4x（x＜0）． 所以　　　　　　　　　　． 11 新知探究 例2　设函数f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋4x． （1）求f（x）的表达式； （2）证明f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数． （2）证明：设任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则 f（x2）－f（x1）＝（x22＋4x2）－（x12＋4x1）＝（x2－x1）·（x2＋x1＋4）． 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＋4＞0， 所以f（x2）－f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2）， 所以f（x）是（0，＋∞）上的增函数． 12 新知探究 例3　（1）已知偶函数f（x）在区间［0，＋∞）单调增加，求满足f（2x－1）＜　　的x取值范围． （2）已知定义域为（－1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，求满足f（a－3）＋f（9－a2）＜0的a的取值范围． 解： （1）由偶函数f（x）在区间［0，＋∞）单调增加， 即　　　　． 且f（2x－1）＜　　得： ∴　　 　　　　， 13 新知探究 例3　（2）已知定义域为（－1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，求满足f（a－3）＋f（9－a2）＜0的a的取值范围． 解： （2）y＝f（x）为奇函数，f（a－3）＋f（9－a2）＜0，知： 即 又由y＝f（x