3.1.2 函数的单调性 第2课时课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.2 函数的单调性 第2课时 整体概览 （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？ 问题1　阅读课本本节内容，回答下列问题： 新知探究 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 知识点1 函数的平均变化率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1≠x2时，称　　　为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在． 若记Δx＝x2一x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为 新知探究 知识点1 函数的平均变化率 斜率的几何意义的理解： 如图所示，若Δx＝x2一x1表示线段AC的长度，相应的Δy＝y2－y1表示线段BC的长度，直线AB的斜率即为Rt△ACB中BC与AC的比．因此，对于直线AB来说，斜率　　　　　大于零； 如果设D（x3，y3），则可以看出y3一y1＞0 ， x3一x1＜ 0，所以直线AD的斜率　　　　　小于零． 新知探究 【尝试与发现】 如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律． 函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都大于0， 函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于0． 新知探究 （1）y＝f（x）在I上是增函数的充要条件是　　　在I上恒成立； 一般地，若I是函数y＝f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f（x1），y2＝f（x2），　　　　　（即　　　　　　　　），则： 一般地，当x1≠x2时，称　　　　　　　　为函数y＝f（x）在区间[x1，x2]（x1＜x2时）或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率． （2）y＝f（x）在I上是减函数的充要条件是　　　在I上恒成立． 说明：利用上述结论，可以证明函数的单调性． 新知探究 【做一做】利用上述结论，证明函数此y＝－2x在R上是减函数． 对于函数y＝－2x来说，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，有 因此y＝－2x在R上是减函数． 新知探究 例1　求证：函数　　 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数 证明： 设x1≠x2，那么　　　　　　　　　， 如果x1，x2∈（－∞，0），则x1x2＞0，此时　　　， 所以函数在（－∞，0）上是减函数． 同理，函数在（0，＋∞）也是减函数 8 新知探究 例2　判断一次函数y＝kx＋b（k≠0）的单调性． 解： 设x1≠x2，那么 因此，一次函数的单调性取决于k的符号： 当k＞0时，一次函数在R上是增函数； 当k＜0时，一次函数在R上是减函数． 9 新知探究 【实际应用】 如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y是时间t的函数． 当容器是如图（1）所示的圆柱时，在固定的Δt 时间内，Δy应该是常数，因此函数的图象是如 如图（2）所示的一条线段． 当容器是如图（1）所示圆台时，由容器的形状 可知，在固定的Δt时间内，随着t的增加，Δy应 该越大，因此函数的图象如图（2）所示． 新知探究 例3　证明函数f（x）＝x2＋2x在（－∞，－1］上是减函数，在 ［－1，＋∞）上是增函数，并求这个函数的最值． 解： 设x1≠x2，则 因此： 当x1，x2∈［－∞，－1）时，有x1＋x2＜－2，从而　　　，因此 f（x）在（－∞，－1］上是减函数； 11 新知探究 例3　证明函数f（x）＝x2＋2x在（－∞，－1］上是减函数，在 ［－1，＋∞）上是增函数，并求这个函数的最值． 解： 由函数的单调性可知，函数没有最大值； 而且，当x∈（－∞，－1］时，有f（x）≥－1，当x∈（－1， ＋∞］时，不等式也成立，因此f（－1）＝－1是函数的最小值 当x1，x2∈［－1，＋∞）时，有x1＋x2＞－2，从而　　　，因此 f（x）在（－∞，－1］上是减函数； 12 新知探究 用类似的方法证明，二次函数的单调性为： （1）当a＞0时，f（x）在　　　　　上单调递减，在　　　　　上单调递增，函数没有最大值，但有最小值　　　　　　　　； （2）当a＜0时，f（x）在　　　　　上单调递增，在　　　　　上单调递减，函数没有最小值，但有最大值　　　　　　　　． 说明：这一结论也可以从二次函数的图象是关于　　　 对称的抛物线与开口方向看出来． 新知探究 求函数f（x）＝－2x2＋3x＋c（c为常数）的单调性． 解： 显然函数的定义域为R，则 设是函数定义域上任意两个不相等的实数，则 14 新知探究 求函数f（x）＝－2x2＋3x＋c（c为常数）的单调性． 解： 当－2（x1＋x2）＋3＞0时，有x1＋x2＜　，注意到x1，x2应该是同一个集合中的两个不同的实数，因此当x1，x2 ∈（－∞，　］时，必定有