湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高二上学期期中测试数学试卷

2021-2022学年上学期高二数学期中测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意) 1．已知复数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．某校高一年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下:，则这组数据的第80百分位数为（    ） A．91 B．92 C．93 D．94 3．以点(3，－1)为圆心，且与直线x－3y＋4＝0相切的圆的方程是（    ） A．(x－3)2＋(y＋1)2＝10 B．(x－3)2＋(y－1)2＝10 C．(x＋3)2＋(y－1)2＝10 D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝10 4．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（　　） A． B． C． D． 5．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为2，若圆锥被平行其底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为的圆锥，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（    ） A． B． C． D． 8．已知四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（    ） A．x-2y+6=0 B．x-y=0 C．2x-y+1=0 D．x+y-3=0 10．已知直线：和圆：，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．存在使得直线与直线：平行 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（       ） A． B．当时， C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4 12．如图，在正方体中，，点分别为的中点，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四面体的体积为定值 B．若，则平面 C．平面截正方体所得的截面的周长为 D．若，则四面体外接球的表面积为 三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13．直线过点，同时满足在两坐标轴上的截距相等且不为零，则这样的直线方程为 . 14．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 . 15．已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ． 16．已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为 . 四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知的内角的对边分别是，满足． (1)求； (2)若是的中点，且，求的面积． 18．某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求a，b的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）； (3)在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，， 点为棱上的点，且. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 20．双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点． 21．如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为60°，如图2所示，设N为BC