4.5 三角形中的重要线段-【一战成名新中考】2024福建中考数学·基础夯实练

基础夯实练·福建数学 命题点５　三角形中的重要线段（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．理解三角形中线、高线、角平分线等概念； ２．了解三角形重心的概念； ３．探索并证明三角形的中位线定理； ４．了解三角形的内心． 要点归纳 １．高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作①　垂线　，顶点和垂足之间的线段． （１）如图１，ＡＤ为△ＡＢＣ的边ＢＣ上的高线，则有： ①∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°；②Ｓ△ＡＢＤ∶Ｓ△ＡＣＤ＝ＢＤ∶ＣＤ； （２）锐角三角形的三条高在其②　内部　；直角三角形的两条高线是其直角边，斜边上的高 在其③　内部　；钝角三角形两条较短边上的高在其④　外部　，较长边上的高在 其⑤　内部　． 图１ 　　　 图２ 　　　 图３ 　　　　 图４ ２．中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边⑥　中点　的线段． （１）如图２，ＡＤ，ＢＥ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ，ＡＣ上的中线，则有：ＢＤ＝ＣＤ＝⑦　　　　ＢＣ，ＡＥ＝ＣＥ ＝１２ＡＣ；Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＣＤ＝⑧　　　　Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△ＢＥＣ＝Ｓ△ＢＥＡ＝⑨　　　　Ｓ△ＡＢＣ； （２）重心：三角形的三条中线的交点．如图 ２，点 Ｏ为△ＡＢＣ的重心，则有：ＡＯＯＤ＝ ＢＯ ＯＥ＝ ⑩　　　　． ３．中位线：连接三角形两条边中点的线段，如图３，ＤＥ为△ＡＢＣ的中位线，则有： （１）位置关系：ＤＥ瑏瑡　　　　ＢＣ；　　　　　 　　（２）数量关系：ＤＥ＝瑏瑢　　　　ＢＣ； （３）Ｃ△ＡＤＥ＝瑏瑣　　　　Ｃ△ＡＢＣ； （４）Ｓ△ＡＤＥ＝瑏瑤　　　　Ｓ△ＡＢＣ． ４．角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段． （１）如图４，ＡＤ，ＢＥ分别为△ＡＢＣ的角平分线，则有：①∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝瑏瑥　　　　∠ＢＡＣ， ∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＥ＝１２∠ＡＢＣ；②Ｓ△ＡＢＤ∶Ｓ△ＡＣＤ＝ＢＤ∶ＣＤ＝ＡＢ∶ＡＣ，Ｓ△ＢＡＥ∶Ｓ△ＢＣＥ＝ＡＥ∶ＣＥ＝ＢＡ∶ＢＣ； ２７ 基础夯实练·福建数学 （２）内心：三角形三条角平分线的交点．如图４，点Ｏ为△ＡＢＣ的内心，则点Ｏ到△ＡＢＣ三条 边的距离相等． （３）与角平分线有关的结论 条件 在△ＡＢＣ中，ＢＰ，ＣＰ分别 平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ 点Ｄ在ＢＣ的延长线上，ＢＰ， ＣＰ分别平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＤ 点 Ｄ，Ｅ分别在 ＡＢ，ＡＣ 的延长线上，ＢＰ，ＣＰ分 别平分∠ＤＢＣ，∠ＥＣＢ 图形 角度关系 ∠ＢＰＣ＝瑏瑦　　　　 ∠ＢＰＣ＝瑏瑧　　　　 ∠ＢＰＣ＝瑏瑨　　　　 线段关系 点Ｐ到线段ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的距离相等 随堂练习 １．如图，在△ＡＢＣ中，ＣＤ，ＣＥ，ＣＦ分别是ＡＢ边上的高线、角平分线、中线，点Ｇ在边ＢＣ上，连接 ＦＧ． （１）若∠Ｂ＝３５°，则∠ＢＣＤ＝　５５　°； （２）若∠Ａ＝７０°，∠Ｂ＝３０°，则∠ＢＣＥ＝　４０　°，∠ＤＣＥ＝　２０　°； （３）若ＢＣ＝８，Ｓ△ＢＣＥ＝８，则点Ｅ到ＡＣ的距离为　２　； （４）若ＡＣ＝４，△ＢＣＦ的周长比△ＡＣＦ的周长多４，则ＢＣ的长为　８　； （５）若ＡＢ＝６，ＣＤ＝４，则Ｓ△ＡＢＣ＝　１２　，Ｓ△ＢＣＦ＝　６　；若ＢＦ＝６ＥＦ，则Ｓ△ＣＥＦ＝　１　； （６）若ＦＧ垂直平分ＢＣ，ＢＦ＝４，则ＦＣ＝　４　； （７）若点Ｇ是ＢＣ的中点，则ＦＧ与ＡＣ的位置关系为　ＦＧ∥ＡＣ　，数量关系为 　； 若Ｓ△ＡＣＦ＝６，则Ｓ△ＡＣＧ＝　６　． 第１题图 　　　　 图① 　　　 图② 　　　 图③ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第２题图 ２．在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝７０°，∠ＡＣＢ＝６０°． （１）如图①，ＢＰ平分∠ＡＢＣ，ＣＰ平分∠ＡＣＢ，则∠ＢＰＣ＝　１１５°　； （２）如图②，点Ｄ是ＢＣ延长线上一点，ＢＰ，ＣＰ分别平分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＤ，则∠Ｐ＝　２５°　； （３）如图③，点Ｄ，Ｅ分别在ＡＣ，ＡＢ的延长线上，ＢＰ，ＣＰ分别平分∠ＥＢＣ，∠ＢＣＤ，则∠Ｐ的度 数为　６５°　． ３７ 书 ∵－１４＜０，∴当ｘ＝２时，ｙ有最大值，即当 ｘ＝２时，ｙ＝９， 即ＡＤ＝９ｍ． 方法二：设抛物线的表达式为 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋８，结合 －ｂ２ａ＝ ２，Ｂ（８，０），可得表达式为ｙ＝－１４（ｘ－２） ２＋９．其余同理． 答：水流距水平面的最大高度ＡＤ的长度为９ｍ． 命题点１６　二次函数与几何图形综合题 ①（－１，０）　②（３，０）　③（０，３）　④（１，４）　⑤ｘ＝１ ⑥ｙ＝－ｘ＋３　⑦ｙ＝３ｘ＋３　⑧ｙ＝－２ｘ＋６　⑨４ ⑩ 槡３２　