4.1 线段、直线、角、角平分线-【一战成名新中考】2024福建中考数学·基础夯实练

基础夯实练·福建数学 　　　　　　 第四章　三角形　　　　　 命题点１　线段、直线、角、角平分线（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念； ２．会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； ３．掌握基本事实：两点确定一条直线； ４．掌握基本事实：两点之间线段最短； ５．理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离； ６．理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角 的和、差； ７．理解余角、补角等概念，探索并掌握同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质； ８．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反 之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 要点归纳 １．两个基本事实 （１）两点①　确定一条　直线．生活中的应用如下图中的②　图１，图２，图３　． （２）两点之间，③　线段最短　．生活中的应用如下图中的④　　　　　图４　． 　　 　　 　　 ２．两点间的距离：连接两点之间的线段的长度． 图５ ３．线段的和与差：如图５，在线段ＡＣ上取一点Ｂ，则有：①ＡＢ＋⑤　ＢＣ　＝ＡＣ； ②ＡＢ＝⑥　ＡＣ　－⑦　ＢＣ　，③ＢＣ＝⑧　ＡＣ　－⑨　ＡＢ　 ４．线段的中点、三等分点 图形 说明 结论 中点 点Ｍ是线段ＡＢ的中点 ＡＭ＝ＢＭ＝⑩　　　ＡＢ 三等分点 点Ｍ、Ｎ是线段ＡＢ的三等分点 ＡＭ＝ＭＮ＝ＮＢ＝瑏瑡　　ＡＢ 易错警示：一条线段的三等分点有２个，遇到三等分点时要注意分类讨论． ５．角的分类（α为角的大小） 锐角 直角 钝角 平角 周角 ０°＜α＜９０° α＝９０° ９０°＜α＜１８０° α＝１８０° α＝３６０° ５６ 基础夯实练·福建数学 ６．角中度、分、秒的换算 （１）角中度、分、秒的换算是６０进制的； （２）１°＝瑏瑢　６０　′，１′＝瑏瑣　６０　″． 例：３４．５°＝瑏瑤　３４　°瑏瑥　３０　′，１１２．２７°＝瑏瑦　１１２　°瑏瑧　１６　′瑏瑨　１２　″． ７．余角和补角 （１）互余： ①概念：若两个角的和为９０°，则称这两个角互为余角； ②性质１：若两个角α，β互余，则α＋β＝９０°或β＝９０°－α； ③性质２：同角或等角的余角瑏瑩　相等　．该性质常在涉及直角的角度转化中使用，如三 垂直中证全等、相似，两个角互余判定切线等． （２）互补： ①概念：若两个角的和为１８０°，则称这两个角互为补角； ②性质１：若两个角α，β互补，则α＋β＝１８０°或β＝１８０°－α； ③性质２：同角或等角的补角瑐瑠　相等　．该性质常在对角互补四边形转化角度时使用，如 圆的内接四边形． ８．角平分线 概念 从一个角的顶点出发，把这个角分成瑐瑡　两个相等　的角的射 线叫作这个角的平分线．如图，射线ＯＣ为∠ＡＯＢ的平分线 性质 ∠ＡＯＢ＝２∠ＡＯＣ＝瑐瑢２∠ＢＯＣ　；∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝瑐瑣　　　 定理 角平分线上的点到这个角的两边瑐瑤距离相等　．如图，ＰＭ＝瑐瑥ＰＮ　 逆定理 在一个角的内部，到这个角的两边瑐瑦　距离　的点在这个角的平分线上 随堂练习 １．数学具有广泛的应用性．请写出两个将基本事实应用于生活的例子（答案不唯一）． （１）“两点之间，线段最短”：　把弯曲的公路改直，就能缩短路程　； （２）“两点确定一条直线”：　在墙壁上固定一根横放的木 条，则　． ２．已知线段ＡＢ＝９． （１）若点Ｃ是线段ＡＢ上一点，ＡＣ＝２，则ＢＣ的长为　７　； 变式１　若延长线段ＡＢ到Ｃ，使ＢＣ＝３，则线段ＡＣ的长是ＢＣ的长的　４　倍； 变式２　 若点Ｃ在直线ＡＢ上，ＡＣ＝２，则ＢＣ的长为　１１或７　． （２）若点Ｃ是ＡＢ的中点，则ＡＣ的长为　４．５　； （３） 若点Ｃ是ＡＢ的一个三等分点，则ＢＣ的长为　３或６　． ３．如图①，射线ＯＣ、ＯＤ交直线ＡＢ于点Ｏ． （１）若∠ＡＯＣ＝１３０°，则∠ＢＯＣ＝　５０　°； （２）若ＯＤ⊥ＯＣ，∠ＤＯＡ＝３５°，则∠ＢＯＣ＝　５５　°； （３） 若 ＯＤ平分∠ＡＯＣ，∠ＢＯＣ＝４８°２４′，则 ∠ＡＯＤ的度数为　６５°４８′　； （４）如图②，若 ＯＣ平分∠ＢＯＤ，点 Ｐ是 ＯＣ上一点， ＰＭ⊥ＯＢ于点Ｍ，点Ｎ是射线ＯＤ上的一个动点，若 ＰＭ＝３，则ＰＮ的最小值为　３　． 图① 图② 　　　　　　第３题图 ６６ 书