专题 勾股定理的应用-2023-2024学年人教版八年级数学下册分层优化堂堂清

八年级数学下分层优化堂堂清 第17章 勾股定理 专题 勾股定理的应用 题型一、利用勾股定理求线段的长度 例1-1．如图，，点在线段上，，，则的长为 ． 针对练习1 1．如图，四边形的对角线相交于点，过点作于点，与交于点．请完成下列问题：    （1） ； （2）若，则的长为 ． 2．如图，中，，． (1)在上找一点，连接，使得为等边三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的长． 解题策略： 在非直角三角形中求线段长度时，可以根据题意作垂线构造直角三角形，运用勾股定理求解。 题型二、利用勾股定理求图形面积 1.求几个图形面积和 例2-1勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2，则图2中阴影部分面积等于（   ） A．直角三角形的面积 B．最小正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 针对练习2-1 1．如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ）    A．169 B．144 C．30 D．25 2．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，若乙的面积是22，丙的面积是18，丁的面积是9，则 ． 3．观察图形，回答下列问题： (1)如图①，为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为__________； (2)如图②，分别以的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆的面积之间的关系是__________（用图中字母表示）； (3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆．请你利用（2）中得出的结论求阴影部分的面积． 解题策略： （1） 以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，（练习3图1）P+Q=M，即以两条直角边为边的正方形面积之和等于以斜边为边的正方形面积。 （2） 推广：（练习3图2、图3） 2.求一般图形的面积 例2-2如图，在中，，cm，cm.求BC的长以及的面积. 针对练习2-2 1.阅读下列材料： 小明遇到这样一个问题：在中，，分别为，，，求的面积. 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形的顶点处），借助网格就能计算出的面积.他把这种解决问题的方法称为构图法. 请回答： （1）图1中的面积为__________. 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1） ①利用构图法在图2中画出三边长分别为，，的格点. ②的面积为_____________. （3）如图3所示，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接.若，，，求六边形的面积. 2.在四边形中，，． (1)如图1，若，，． ①连接，试判断的形状，并说明理由； ②连接，过作，交的延长线于点，求的面积； (2)如图2，若，，四边形的面积为，求的长． 解题策略： 求图形面积时，可以通过作高或延长相交来构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长，注意构造直角三角形时不要破坏已知条件中的特殊角或已知边。 题型三、勾股定理在网格中的应用 例3-1（1）图1中三角形的面积为___________. （2）在图2中画出边长为、、3的三角形并求其面积. 针对练习3 1.如图，网格小正方形的边长都为1，在中，试利用格点分别画出：边上的中线、边上的高，并判断的形状．    2.如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是． (1)在图①中画出三边长分别为，，的三角形，及最长边上的高，并求出它的高； (2)①在图②中画出一个以为顶点且面积为的等腰； ②一共可以画出 ___________个不同位置的等腰． 解题策略： 网格中线段长度的计算：以网格中的网格线为直角边、所求线段为斜边，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 网格中作符合条件的三角形：以网格中的网格线为直角边，构造勾股定理确定线段的长度，解题的关键是确定每一条边所在的直角三角形。 题型四、利用勾股定理进行证明 例4-1如图，在△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2=AP2+BC2. 针对练习4 1.已知：△ABC中，AD为BC中线，求证：。 2.如图，在中，已知，D是斜边BC的中点，交AB于点E，连接CE. (1)求证：； (2)若，，求的周长. 解题策略： 看到已知条件中出现线段的平方，或者证明结论中出现线段的平方，往往需要从勾股定理入手，找出直角三角形中的三边关系，其中往