2024年中考数学专题复习：动点问题 讲义

动点问题 例题1．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（　　） A． B． C． D．5 分析：根据勾股定理得到AB＝5，过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，过P作PM⊥BC于M，则PM+PN＝PN+PQ＝NQ的值最小，根据菱形的面积公式即可得到结论． 解：设AC与BD交于点O， ∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB5， 过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，过P作PM⊥BC于M， 则PM+PN＝PN+PQ＝NQ的值最小， ∵， ∴NQ， 即PM+PN的最小值是， 故选：C． 例题2．如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一个动点（不与点C、D重合），BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G．若FD＝5AF，求CE：ED的值为 . 分析：连接BF、EF，由FG垂直平分BE，得BF＝EF，由FD＝5AF，则设AF＝x，DF＝5x，再由勾股定理得AB2+AF2＝DF2+DE2，得DE，CE＝6x，故CE：ED1． 解：如图，连接BF、EF， ∵FG垂直平分BE， ∴BF＝EF， ∵FD＝5AF ∴设AF＝x，则DF＝5x， ∴AB＝6x， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴AB2+AF2＝DF2+DE2， ∴DE， ∴CE＝6x， ∴CE：ED1． 例题3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD为平行四边形； （2）①当t＝　 　s时，四边形AEFD为菱形； ②当t＝　 　s时，四边形DEBF为矩形； 分析：（1）由题意得∠BCA＝30°，CD＝4t cm，AE＝2t cm，再由含30°角的直角三角形的性质得DFDC＝2t cm，得到AE＝DF，然后证AE∥DF，即可得出结论； （2）①由AE＝AD，得四边形AEFD为菱形，得2t＝60﹣4t，进而求得t的值； ②∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°时，四边形DEBF为矩形，得到∠AED＝90°，再证AD＝2AE，得60﹣4t＝4t，即可得出结论． （1）证明：由题意可知CD＝4t cm，AE＝2t cm， ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝30°， ∴DFDC＝2t cm． ∵AE＝2t cm，DF＝2t cm， ∴AE＝DF． 又∵DF⊥BC，AB⊥BC， ∴AE∥DF， ∴四边形AEFD为平行四边形． （2）解：①∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． ∵AE＝DF，AE∥DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD， 即2t＝60﹣4t， 解得t＝10， ∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形， 故答案为：10． ②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°， ∴∠DEB＝90°， ∴∠AED＝90°． ∵∠AED＝90°，∠A＝60°， ∴∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE， 即60﹣4t＝4t， 解得t． 即当t时，四边形DEBF为矩形， 故答案为：． 练习题 1．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C．4 D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从点D向C以每秒1个单位长度的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN从点C向D以每秒2个单位长度的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（　　） A． B．4 C． D． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝18，点E在边AB上，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在点B'处．若AE＝3，当△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形时，线段DB'的长为　 　． 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值． 5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣