2024年九年级中考数学复习 二次函数动点问题讲义

二次函数动点问题（一） 一、由动点生成的线段问题 （一）知线段关系求点坐标 【例1】如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，作直线BC． （1）设点E是抛物线对称轴上一点，当时，求点E的坐标； （2）设点F是x轴上一点，且在点B左侧，当，求点F的坐标； （3）如图2，若点Q是直线BC上方抛物线上一点，过点Q作直线轴交直线BC于点，交x轴于点Z，当点为线段QZ的三等分点时，求点Q的坐标． 【思路分析】（1）利用抛物线的解析式求得点A，B，C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，作线段BC的垂直平分线交BC于点G，交抛物线的对称轴于点E，利用待定系数法求得EG的解析式，令，求得y值，则结论可求； （2）过点F作于点D，利用直角三角形的边角关系定理和已知条件得到，设，则，，列出关于t的方程，解方程即可求解； （3）设点，其中，则，，利用q的代数式表示出线段QZ和的长度，再利用分类讨论的思想方法列出关于q的方程，解方程即可求解． （二）求线段最值 1．利用二次函数的最值求线段的最值 【例2】如图3，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴交BC于点Q，求线段PQ的最大值． 变式1：过点P作于点M，求线段PM的最大值． 【思路分析】过点P作轴交BC于点Q，先解方程得，，再确定，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设，则，所以，变式问题中只需要证明为等腰直角三角形，得到，所以，然后利用二次函数的性质解决问题． 2．利用几何知识求最值 （1）两点之间线段最短 ①利用“将军饮马”求最值 【例3】抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，顶点为点D，点C关于直线l的对称点为点E． （1）如图4，若点P是y轴上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标； （2）如图5，连接CD，点Q是x轴上一动点，连接CQ，DQ，求周长的最小值；如图6，若点M为y轴上一动点，点N为x轴上一动点，求四边形DENM周长的最小值． 【思路分析】（1）作点B关于y轴的对称点，则，连接交y轴于点P，连接BP，当、E、P三点共线时，的值最小，求出的直线解析式即可求点P坐标； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点Q，连接CQ，当、Q、D三点共线时，有最小值，最小值为； （3）作点D关于y轴的对称点，作点E关于x轴的对称点，连接交y轴于M，交x轴于N，连接DM，EN，当、M、N、共线时，的值最小，此时四边形DENM的周长最小，最小值为． ②利用“阿氏圆”求最值 【例4】如图7，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作．点E为上的动点，连接AE和DE，求的最小值． 【思路分析】连接BE，在BA上截取，连接IE，DI，可证得，从而从而得出，，进一步得出结果． （2）利用垂线段最短求最值 【例5】如图8，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在平面内有一定点，点P，Q分别是抛物线、直线BC上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 【思路分析】过点D作于点Q，交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为DQ的长，则点P，Q即为所求的点． 变式2：“胡不归”求最值 【例6】如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．若点P为y轴上的一个动点，连接PD，求的最小值． 【思路分析】连接AB，作于点H，交OB于点P，此时最小．最小值就是线段DH，求出DH即可． 变式3：点P为抛物线上一动点，若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为，过点P作于M． ①问题探究：如图10，在对称轴上是否存在一定点F，使得恒成立?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． ②问题解决：如图11，若点Q的坐标为，求的最小值． 【思路分析】①设出点BF，求得点F坐标； ②利用，将转化为，利用垂线段最短解决问题． （三）线段的取值范围 【例7】已知抛物线与x轴交于B，C两点，点D平分BC．若在x轴上方的点A为抛物线的动点，且为锐角，求AD的取值范围． 【思路分析】令，求出抛物线与x轴的两交点坐标，从而求出D点坐标，再根据直角三角形的性质，求出当为直角时AD的长和抛物线的顶点坐标，即可得出AD的取值范围． 二、由动点生成的面积问题 （一）由动点求面积的最值 【例8】如图12，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【思路分析】根据抛物线先求出点C的坐标，再用待定系数法求出直线BC的解析式，设点P的横坐标是，则点P的坐标是，过