2024年中考数学专题复习：构造三角形中位线 讲义

构造三角形中位线 图形 特点 辅助线 已知一边中点 取另一边中点，连接中位线 已知一边中点 将另一边倍长，再连接第三边 已知两边中点 连接第三边 已知一条线段与角平分线垂直 延长这条线段构造等腰三角形 已知四边形的对角线相等 分别取AB，CD，BC的中点E，F，H连接EH，FH 已知四边形的对边相等，如AB=CD 分别取AD，BC，AC的中点E，F，H，连接EH，FH 例题1．如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝45°．∠ADB＝105°，试探究EF与PF之间的数量关系，并证明． 分析：连接PE，由三角形中位线定理可知PF＝PE，且∠EPF＝120°，过点P作PG⊥EF，由直角三角形的性质可求得FGPF，可求得EFPF． 解：EFPF．证明如下： 如图，连接PE， ∵P、E分别为BD、AB的中点， ∴PE∥AD，且PEAD， ∴∠ADP+∠EPD＝180°， ∴∠EPD＝75°， ∵F、P为CD、BD中点， ∴PF∥BC，且PFBC， ∴∠DPF＝∠DBC＝45°， ∵AD＝BC， ∴PF＝PE，且∠EPF＝75°+45°＝120°， 过P作PG⊥EF于点G，则EF＝2FG， 在Rt△PFG中，由勾定理可得FGPF， ∴EFPF． 例题2．如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，求EF的长． 解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM， ∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点， ∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线， ∴EM∥AB，MF∥DC，EMAB＝2，MFDC＝3， ∵MF∥DC， ∴∠FGC＝∠EFM， ∵EM∥AB， ∴∠FEM＝∠FHB， ∵∠BHF与∠CGF互余， ∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°， ∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°， ∴△EMF是直角三角形， ∴EF， 例题3．如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10，DE＝2，求AC的长． 分析：延长AC、BE交于点F，证明△AEB≌△AEF，根据全等三角形的性质得到AF＝AB＝10cm，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可． 解：延长AC、BE交于点F， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， 在△AEB和△AEF中， ， ∴△AEB≌△AEF（ASA）， ∴AF＝AB＝10，BE＝EF， ∵BD＝DC，DE＝2， ∴CF＝2DE＝4， ∴AC＝AF﹣CF＝6， 例题4．如图，M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线MN将△ABC分成了周长相等的两部分．已知AB＝6，∠A＝120°，求MN的长． 分析：延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，根据等边三角形的判定与性质可得△ABD是等边三角形，BD＝AB＝AD＝6，进一步证明MN是△BCD的中位线，再根据三角形中位线定理即可求解． 解：如图，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD． ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝AD＝6． ∵M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线MN将△ABC分成了周长相等的两部分， ∴BM＝CM，BM+AB+AN＝CM+CN， ∴AB+AN＝CN， ∴AD+AN＝CN，即DN＝CN， ∵BM＝CM， ∴MN是△BCD的中位线， ∴MNBD＝3． 例题5．如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）； （2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由． 分析：（1）如图1，连接AC，根据三角形中位线定理证得四边形EFGH的对边EF与GH平行且相等，然后由平行四边形的判定定理推得结论； （2）四边形EFGH均为平行四边形．以图2为例进行证明．连接AC．证明思路同（1）． （1）证明：如图1，连接AC， ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线， ∴EF∥AC，；HG∥AC，． ∴EFGH， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）解：四边形EFGH均为平行四边形． 证明（以图2为例）：连接AC． 在△BAC中，∵E、F分别为A