17.2 勾股定理的逆定理（单元教学设计）-【大单元教学】八年级数学下册同步备课系列（人教版）

17.2　勾股定理的逆定理（单元教学设计） 一、【单元目标】 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法，并会证明． 2．会用勾股定理判别已知三角形是否为直角三角形． 3．了解原命题、逆命题、逆定理等概念及其关系． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。 四、【教学设计思路/过程】 课时安排： 约1课时 教学重点： 勾股定理的逆定理、互逆命题、互逆定理． 教学难点： 勾股定理的逆定理的证明． 五、【教学问题诊断分析】 1.【情景引入】 问题1 前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗?师生活动:师生共同回忆勾股定理，请同学独立指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系. 追问:我们知道一个直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，则有a2+b2=c2.反过来，若一个三角形的三边具有a2+b2=c2的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢?今天我们一起来研究这个问题. 设计意图:通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题. 问题2 据说古埃及人用图1的方法画直角:把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.你认为结论正确吗? 师生活动:学生测是课本中的三角形的角度，并计算三边长的关系. 设计意图:介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣. 实验操作:(1)画一画:下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位:cm)画出三角形: ①2.5，6，6.5; ②6，8，10. (2)量一量:用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数. (3)想一想:请判断这些三角形的形状，并提出猜想. 设计意图:教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论,这种测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何探索过程， 2.【证明勾股定理的逆定理】 问题3 要证明一个命题是真命题，我们首先要分析命题的题设及结论，画出图形，并写出已知、求证.请大家完成. 师生活动:学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过幻灯片(或板书)显示图形、已知及求证. 已知:如图2，ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2. 求证:△ABC是直角三角形. 设计意图:引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务. 问题4要证明ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°由命题的已知条件，能直接证明吗? 追问:对于△ABC，我们难以直接证明它是一个直角三角形，怎么办? 设计意图:本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形，联想到三角形全等这一工具，通过构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点 3.【应用定理】 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ，b=14 ，c=15. 解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2)∵132+142=365，152=225， ∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形 例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 分析：“远航”号的航向已知，实质是要求出两艘船航向所成角. 解：根据题意，得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2, ∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 设计意图:这是利用勾股定理的逆定理进行判断的练习，通过练习，把陈述性的定理转化为认知操作，学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形. 4.【介绍逆命题的概念】 问题5比较我们刚刚学习的定理和勾