17.2用公式法分解因式(第1课时 运用平方差公式因式分解)（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 17.2(第1课时) 第十七章 因式分解 运用平方差公式 因式分解 复习回顾 FU XI HUI GU 填空： （1）(x+5)(x-5)= ； （2）(3x+y)(3x-y)= ； （3）(3m+2n)(3m–2n)= ． x2 –25 9x2 –y2 9m2 –4n2 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： x2-25=___________; 9x2-y2=___________; 9m2-4n2=_____________ (x+5)(x-5) (3x+y)(3x-y) (3m+2n)(3m–2n) 它们的结果有什么共同特征？ (a+b)(a-b)=a2-b2 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 平方差公式： 整式乘法 因式分解 ☆2-○2＝(☆+○)(☆-○) □2-△2＝(□+△)(□-△) 形象地表示为： 两数的和与差的积 两个数的平方差；只有两项 ① 左边 ② 右边 归纳总结 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ × × √ √ （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) (y+x)(y-x) （4）-x2+y2 （5）x2-36y2 (x+6y)(x-6y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方，减号在中央． 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式＝(3x-2)(3x+2) (3)原式＝(m+n)2-(2n)2 =(m+n+2n)(m+n-2n) =(m+3n)(m-n) (2)原式= (4)原式＝4x(1-4x2) =4x[12-(2x2)] =4x(1+2x)(1-2x) 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 因式分解一定要分彻底． 把下列各式分解因式： (5) (6) 解：(5)原式＝(9x2)2-(4y2)2 =(9x2+4y2)(9x2-4y2) =(9x2+4y2)[(3x)2-(2y)2] =(9x2+4y2)(3x+2y)(3x-2y) (6)原式＝[(x+y)+(x-y+1)]·[(x+y)-(x-y+1)] =(2x+1)(2y-1) 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 下面是小明同学的错题本，请你帮他订正. 日期： 原题（可粘贴）： 来源： 重要程度：☆☆☆☆☆ 原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析： 解：-4ax2+16ay2 = -4a(x2-4y2) = -4a(x+2y)(x-2y) 把-4ax2+16ay2因式分解 解：-4ax2+16ay2 = -4a(x2-4y2) 因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 下面是小明同学的错题本，请你帮他订正. 日期： 原题（可粘贴）： 来源： 重要程度：☆☆☆☆☆ 原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析： 解：x3y2-x5 = x3(y2-x2) = x3(y+x)(y-x) 因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 把x3y2-x5 因式分解. 解：x3y2-x5 = x3(y2-x2) 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 下面是小明同学的错题本，请你帮他订正. 日期： 原题（可粘贴）： 来源： 重要程度：☆☆☆☆☆ 原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析： 解：x4-y4 ＝(x2+y2)(x2-y2) ＝(x2+y2)(x+y)(x-y); ＝(x2)2-(y2)2 分解因式：x4-y4 因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 解：x4-y4 ＝(x2+y2)(x2-y2) ＝(x2)2-(y2)2 当堂练习 QING JING YIN RU 多项式因式分解 分解因式的步骤： (1)优先考虑提取公因式法; (2)看是否能用公式法 ; (3)务必检查是否分解到底了; 多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解： 1.多项式是二项式或可以看成二项式； 2.两项符号相反； 3.每项都可以写成某数或某式的平方的形式. (4)答案要写成最简形式. 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 有公因式的先提公因式 计算：50×1252-50×252 解：原式 = 50×(1252-252) =50×(125+25)×(125-25) =50×150×100 =750000 归纳总结 较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 反过来将其化简，对比系数即可 若将 ( 2x )n - 81 分解成 (4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)，求 n 的值 解： ∵(4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3) =(4x2 + 9)(4x2 - 9) =16x4 - 81 ∴ ( 2x )n=2n ·xn =16x4 ∴n=4且2n =16， ∴n=4 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 先将原式化简，再观察求值. 先化简，再求值： x(5x-8y)- x (x -y)2,其中，x,y满足x+2y=0. 解： x(5x-8y)- x (x -y)2 =5x2-8xy-4 (x2-2xy+y2) =5x2-8xy-4x2+8xy-4y2 =x2-4y2 = (x -2y) (x+2y)， ∵x+2y=0， ∴原式=0. 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 利用平方差公式，将其因式分解 317-3可以被20和25之间的整数整除，求这个数． 解：因为 317-3=3×(316-1) =3×(38+1)×(38-1) =3×(38+1)×(34+1)×(34-1) =3×(38+1)×(34+1)×(32+1)×(32-1), 因为3×(32-1)=3×8=24, 所以24是的因数，且是20和25之间的整数， 所以这个数是24. 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 观察等式，寻找规律 观察以下等式： 第1个等式：(2×1+3)-32=8×2; 第2个等式：(2×2+3)-52=8×3; 第3个等式：(2×3+3)-72=8×4; 第4个等式：(2×4+3)-92=8×5; …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：  ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） (2×5+3)-112=8×6 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 解：猜想：(2n+3)2-(2n+1)2=8(n+1), 证明：左边=[(2n+3)+(2n+1)][(2n+3)-(2n+1)] =2(4n+4) =8(n+1) =右边 故该等式成立. 先配方，再利用平方差公式分解因式． 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 我们知道，多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． a2+6a+8=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2). 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)x2-6x-27; (2)x2-2xy-3y2. 解：(1)x2-6x-27=x2-6x+9-9-27 =x2-6x+9-36=(x-3)2-62=(x-3+6)(x-3-6)=(x+3)(x-9). 先配方，再利用平方差公式分解因式． 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 我们知道，多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和（或差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． a2+6a+8=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2). 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： (1)x2-6x-27; (2)x2-2xy-3y2. 解：(2)x2-2xy-3y2=x2-2xy+y2-y2-3y2 =x2-2xy+y2-4y2=(x-y)2-(2y)2=(x-y+2y)(x-y-2y)=(x+y)(x-3y). 课堂小结 QING JING YIN RU 依据 运用平方差公式因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. a2-b2=(a+b)(a-b) 应用 ①提取公因式； ②运用平方差公式； ③检查多项式的因式分解是否完全，有没有分解到不能再分解为止. 当堂练习 QING JING YIN RU 1. 多项式x2-4因式分解的结果是(　　) A.(x+2)(x-2) B.(x-2)2 C.(x+4)(x-4) D.x(x-4) A 2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　) A.-a2-b2 B.-a2+81 C.p2-(-q2) D.a2-b3 B 3. 下列因式分解中,结果正确的是(　　) A.x2-25=(x+5)(x-5) B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3) C.4m2-n2=(2m+n)(m-n) D.x2-4=(x-2)2 A 分解因式要彻底． 先提公因式，再利用平方差公式分解因式． 当堂练习 QING JING YIN RU 4.把下列各式分解因式： (1) 16a2 - 9b2 = _________________； (2) (a + b)2 - (a - b)2 = _______； (3) 9xy3 - 36x3y =_________________； (4) -a4 + 16 =___________________; (4a + 3b)(4a - 3b) 4ab 9xy(y + 2x)(y - 2x) (4 + a2)(2 + a)(2 - a) (6) a3-ab2=_________________； a(a+b)(a-b) (5) 9x4-36y2=_________________； 9(x2+2y)(x2-2y) (7) 25x4y2-x2=_________________； (8) 2a(x2+1)2-2ax2=_________________. x2(5xy+1)(5xy-1) 2a(x2+x+1)(x2-x+1) 当堂练习 QING JING YIN RU 5.计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4. 解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4×(53.52－46.52) =4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 当堂练习 QING JING YIN RU 6.已知 4m + n = 45，2m - 3n = 10，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值． 原式 = -45×10 = -450． 解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n)， 当 4m + n = 45，2m - 3n = 10 时， 当堂练习 QING JING YIN RU 解：根据题意，得剩余部分的面积为 8.82－4×1.62 ＝8.82－ (2×1.6)2 ＝8.82－3.22 ＝(8.8＋3.2)(8.8 － 3.2) ＝12×5.6 ＝67.2 (cm2) 答：剩余部分的面积为67.2 cm2. 7.如图，在边长为8.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积． 当堂练习 QING JING YIN RU 8.已知n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？ 解:原式＝(2n+1+5)(2n+1-5) =(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2) =4(n+3)(n-2). 所以(2n+1)2-25能被4整除. $