2024年中考数学压轴题复习讲义：建系法解填选压轴题

2024中考压轴题复习讲义：建系法解填选压轴题 从《勾股定理》开始，初中数学正式进入代数与几何综合阶段，而从《一次函数》开始，代几综合细分到函数与几何综合，我们从函几综合的整体解题思路线“解析式←→点的坐标←→线段长←→几何问题”中得到解题启发：线段的长度是所有几何题都绕不开的基础或关键的解题元素，从几何的角度来看，结合几何性质可以解决线段长度问题，从函数或代数的角度来看，也可以从线段所在直线的解析式、线段的端点的点的坐标来解决线段长度问题，这样，我们在思考解决几何题时，特别是难度较高的几何压轴题时，就有可能有两个思考角度：几何思考角度和代数思考角度，本书精选近几年全国中考压轴填选题，每题分别从几何、代数角度，用两种方法解析每一道几何压轴题，特别介绍代数思考角度：建系法-----依据题目条件，建立适当的平面直角坐标系，运用代数的方法来解决几何问题，将复杂的几何数量关系，转化为简单的代数运算，从而为解决令人头疼的几何填选压轴题，提供另一个解题技巧。 【方法介绍】 建系法-----依据题目条件，建立适当的平面直角坐标系，运用代数的方法来解决几何问题，将复杂的几何数量关系，转化为简单的代数运算，为最终解决题目要求的几何问题，提供基础或关键的线段长度； 1.建系法，即把单纯的几何题，转化成函数与几何综合题，而在函数与几何综合题型，函数所能提供的是点的坐标或直线的解析式，所以，并非所有的几何题，都可以采用建系法解题，或适合采用建系法解题，只有依题目已知条件能明确转化为点的坐标的几何题（包括设未知数能快速明确转化成点的坐标），才适合采用建系法； 2.在运用建系法时，点的坐标是解题关键，这就要求依题目具体条件，灵活地建立平面直角坐标系，如例1、 例2常规式建系，也有像例3、例4斜式建系，不管如何建立平面直角坐标系，目的只有一个：能依题目条件直接转化成尽可能多的、已知的点的坐标（或字母能表示的点的坐标）。 3.几何方法难于“思路与构造”，代数或函数方法难于“建模与计算”，建系法相比几何方法，思路更直接简单，尽管对代数运算的要求更高，但对于平时的数学思维训练或中考备考而言，多一种思路角度、多一种解题方法，百益无害。只是在具体选择这两种思考角度时，建议除了要考虑题目所给的具体条件，还需参考自身的几何图感或构造能力，或代数运算能力孰强孰弱而定，选择最适合的方法来思考解决压轴填选题 【所涉代数或函数知识】 1.两点间的距离公式：若A(,),B(,)，则AB=; 2.中点坐标公式：若A(, ),B(,)，则AB的中点的坐标为（，） 3.点到直线的垂直公式：已知平面直角坐标系中，点P（）和直线y=kx+b（k≠0），则点P到直线y=kx+b的距离可用公式来计算．（注：运用公式前，先要把一次函数解析式转化成方程形式：kx-y+b=0） 4.求一次函数解析式方法：待定系数法； 5.求一次函数解析式技巧：两直线平行，k值相同；两直线垂直，k值互为负倒数； 6.三角函数和角公式： 【范例详解】 例1.(代数方法解几何题)如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,若AC、BC边上的中线BE、AD垂直交于点O，则AB=___ 【解析】出现双中点，首先考虑中位线，故连接DE，则DE//AB且DE=AB，设DE=m，则AB=2m，由题可知BD=DC=2,AE=EC=, 分别设OB=a，OE=b,OA=c,OD=d，由勾股定理可得a2+d2=BD2=4①,b2+c2=AE2=②,①+②得a2+d2+b2+c2=4+=,即(a2+c2)+(b2+d2)=,即AB2+DE2=,即(2m)2+m2=,解得m=,则AB=2m= 【附】此题从代数的角度思考解题，要比单纯从几何角度，利用重心性质(OA=2OD、OB=2OE)解题要简洁得多，代数方法解几何题，是值得我们去思考、尝试、探索、挖掘的思考角度和思考方法。 例2.如图，已知a//b//c，a与b之间的距离为3，b与c之间的距离为6，a,b,c分别经过等边三角形ABC的三个顶点，则此三角形的边长为_______ 【方法一】几何方法：“构造相似典型模型+相似性质+勾股定理” 解：如图1，作AF⊥b于点F，CE⊥b于点E，BD⊥AC于点D，设AC与b交于点G，由相似的“8字模型”可得AG:CG=AF:CE=3:6=1:2，设AG=x，则CG=2x，AC=3x，CD=AD=1.5x，DG=0.5x，BD=，由∠ACE=∠EBD可得tan∠ACE=tan∠EBD，可得EG:CE=DG:BD，即EG:6=0.5x:，可得EG=，在Rt△CEG中，