2024年中考数学压轴题复习讲义：几何最值与“瓜豆原理”

2024中考压轴题复习讲义：几何最值与“瓜豆原理” 一.【总 述】 此类题型是初中几何中的一个大专题，包括单一线段最大、最小值问题、面积最值问题、线段和最大值问题、动点运动路径长问题等，题目变化万千，但总体解题思路只有一条：想要求出某条线段的最值或动点的运动路径长，首先要明确动点的运动轨迹或运动路线，这样才能依照动点所在的运动图形（或直线或圆弧），选用合适方法，找到取最值时该动点的具体图形位置，依几何性质解答。 【解题思路导图】 【注】“三个特殊位置法”，是基于数学要素间（如点、线、形、已知条件、所求结论等）的逻辑关联演化出来的方法，适用于所有单一线段最值题目中寻找动点运动轨迹的方法，而“构造圆模型”、“瓜豆原理”，都有明确的适用范围，只有题目具备了它们各自所需要的那些条件，才能运用这种方法解题，如瓜豆原理，必须具备“一定、二动(主从动)、定角、定比”这些条件才能采用这种方法解题。“转化法”是应对题型变化的方法，如当题目变成不具有普通“单一线段最值问题”的题目鲜明特征时，或从几何角度不好思考时，通过数学转化思维来分析解题的方法。好比计算题，“三个特殊位置法”是竖式计算方法、“构造圆模型、瓜豆原理”是简单计算方法，“转化法”是应对数字或符号发生变化的计算题。所以多数“单一线段最值问题”的题目，可以采用以上两种或三种方法解题。 二.【瓜豆原理】 【定义】什么是瓜豆原理 在几何双动点问题中，当两个动点与定点满足一定条件时，这两动点的运动规律会出现“种线得线、种圆得圆”的关联性，这种关联性，形象地用中国一句俗语“种瓜得瓜、种豆得豆”来形容，取名为“瓜豆原理”； 【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”) ①有一个定点、两个动点，且一个动点（从动点）因另一个动点（主动点）的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角； ③两个动点到定点的距离的比值是定值； 【结论】瓜豆原理的结论： （1）两个动点的运动轨迹高度一致，概括为“种线得线、种圆得圆”； （2）①若“种线得线”：两个动点的运动路线的夹角=定角； ②若“种圆得圆”：两个圆心分别与定点的连线组所在夹角会等于定角,两个圆的半径之比会等于定比； 即定点、动点、圆心分别组成的三角形全等（定比=1时）或相似（定比≠1时） 【图解】如图1，点O是定点，点A、B是动点，且OA=m•OB,OA⊥OB(如图1-1、图2-1)或∠AOB=(如图1-2、图2-2、图2-3),如果A点的运动轨迹是直线，那么B点的运动轨迹也是直线；若A点的运动轨迹是圆，那么B点的运动轨迹也是圆，（连接AB，从图形旋转的角度，很容易理解这一点）.即“种瓜得瓜、种豆得豆”，形象的称之为“瓜豆原理”； ①“种线得线”，如图1-1、1-2. 条件：定点O、主动点A、从动点B、定角∠AOB=90°或∠AOB=、定比：OA=m•OB; 结论：动点A的运动轨迹是直线m、动点B的运动轨迹是直线n，且∠AOB=∠BCA=90°(或∠AOB=∠BCA=), △A1OA∽△B1OB(若m=1，则△A1OA≌△B1OB) ②“种圆得圆”，如图2-1、2-2、2-3. 条件：定点O、主动点A、从动点B、定角∠AOB=、定比：OA=m•OB; 结论：动点A的运动轨迹是⊙E、动点B的运动轨迹是⊙G，且∠AOB=∠GOE=),△EOA∽△GOB(若m=1，则△EOA≌△GOB)、半径之比等于定比； 【数学原理】瓜豆原理的结论源于三角形的相似性质； 【解题思路步骤】 第一步：审题明确：①“一定两动：定点、主动点、从动点”；②明确“定夹角、边定比” 第二步：依瓜豆原理的结论确定“从动点的运动轨迹”； 第三步：确定最值时线段的位置，并依条件计算最值； 【范例详解】 例1. 如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是______ 【解析】利用“瓜豆原理”解题 第一步：审题明确“一定两动定角定比”：“B是定点、M是主动点、N是从动点、BM=BN、∠MBN=60°”; 第二步：依“瓜豆原理”确定点N的运动轨迹； 主动点M在直线CH上运动，则从动点N也在直线AN上运动，且直线CH与直线AN的夹角∠ADH=∠MBN=60°,由∠AHD=90°可得∠HAD=30°，据此，在边AB下方作∠BAD=30°交CH于点D，则N在直线AD上运动； 第三步：确定线段最值时的位置并依题目条件计算； 依“点到直线距离垂线段最短”可知，当HN⊥AD时，HN的长度有最小值.由等边三角形“三线合一”性质可知AH=BH=AB=,在RtAHD中