2024年高考数学一元函数的导数及其应用小专题（8+4+4）过关练习

2024年高考数学一元函数的导数及其应用小专题过关练习 一、单选题 1．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底，则一定成立的是（     ） A． B． C． D． 4．函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 7．若对于任意的，都有，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 8．已知是方程的一个根，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．曲线在点处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数是自然对数的底数，则（    ） A． B．若，则 C．的最大值为 D．若关于的不等式有正整数解，则 11．设函数，定义域交集为，若存在，使得对任意都有，则称构成“相关函数对”.则下列所给两个函数构成“相关函数对”的有（    ） A． B． C．D． 12．已知函数，，是其导函数，恒有，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．曲线在点处的切线的斜率为 . 14．已知函数在上存在唯一零点x，则实数k的值为 ． 15．函数的极小值点为 ． 16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使（为常数）成立，则称函数在上的“半差值”为.下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为2的函数是 （填上所有满足条件的函数序号）.①②③④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】由. ①当时，函数单调递增，不合题意； ②当时，函数的极值点为， 若函数在区间不单调，必有，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：B. 2．A 【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，，所以； 当时，，所以， 综上，对，有， 由有两个零点，即方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设, 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，,当时， 令，因为，所以， 所以，则， 令， ，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时. 所以函数的值域为， 即的取值范围是. 故选：A. 3．B 【分析】构造新函数，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果. 【详解】令，则， 由，所以， 故函数为上的单调递增，所以， 故，即，故B正确，C错误； 对于AD无法判断其正误， 例如，则，满足题意， 此时，即 故AD不一定成立. 故选：B 4．D 【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程. 【详解】因为，所以．因为， 所以切线方程为，即． 故选：D. 5．B 【分析】先求出函数的零点即可求得的值，再结合函数的图象及要求的零点个数求出m范围得解. 【详解】令，，，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递增，在上单调递减， 时，，且时，恒成立， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 时，，在R上的图象如图， 当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0， 函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点， 当，即时，和各一个零点，共两个零点， 当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点， 当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点， 当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点， 当，即时，和各有一个零点，共两个零点， 当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用作出函数图象，利用换元法解决嵌套函数问题，最后转化为直线与函数图象交点个数问题. 6．A 【分析】根据题目条件求出，，即可判断． 【详解】的定义域为， 在上单调递增，且，， 所以，， 所以当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值且． 的定义域为，由， 当时，，当时，， 故在处取得极大值，也是最大值，， 即．所以． 故选：A 7．C 【分析】问题转化为，构造函数，易得在定义域上单调递增，所以在上恒成立，进而可求出的最大值． 【详解】解：，，， ，， 函数在定义域上单调递增， 在上恒成