2024年高考数学空间向量与立体几何小专题（8+4+4）过关练习

2024年高考数学空间向量与立体几何小专题过关练习 一、单选题 1．已知向量，，，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是（    ） A． B．2 C． D．3 3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A． B． C． D． 4．正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（    ）      A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，M为的交点．若，，，则向量＝（　　） A． B． C． D． 7．如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．如图,在平行六面体中,与的交点，记为,设,,,则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则下列选项正确的是（    ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 10．下列命题不正确的是（       ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有= B．“”是“共线”的充要条件 C．若共线，则与所在直线平行 D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面 11．如图，在棱长均为2的平行六面体中，，点，，分别是，，的中点，与平面交于点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线和直线所成角的余弦值等于 D．三棱锥的体积是六面体的体积的 12．已知向量，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 三、填空题 13．已知是直线l的方向向量，是平面α的法向量，如果，则 ． 14．已知，若，则 ． 15．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 16．已知四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是正方形，.点在棱上运动，当平面平面时，异面直线与所成角的正弦值为 .    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积运算求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，且. 又， 所以，即有， 所以，. 又，所以. 故选：C. 2．C 【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线长. 【详解】由图可知：，，， 由中点坐标公式可得的中点坐标为， 根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为. 故选：C 3．D 【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验. 【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为， 若可能，则，即. A选项，； B选项，； C选项，； D选项，； 故选：D 4．C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，将异面直线的夹角转换为直线的方向向量的夹角来做即可. 【详解】连接，交于点O，连接， 以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点， ，， ，， 设异面直线与所成的角为， 则，，异面直线与所成的角为． 故选：C. 5．B 【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到点P到平面的距离. 【详解】因为平面，平面， 所以， 四边形为矩形，故两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    因为，，，Q为的中点， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 故点P到平面的距离为. 故选：B 6．A 【分析】向量，结合平行六面体的结构特征即能求出结果． 【详解】∵在平行六面体中，M为的交点． 若，，， ∴向量. 故选：A． 7．B 【分析】连接，根据空间向量的线性运算计算求解. 【详解】连接，是的中点，， ，. 故选：B    8．B 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算的法则，准确化简，即可求解. 【详解】在平行六面体中,与的交点，记为,可得点为的中点， 根据空间向量的线性运算法则， 可得. 故选：B. 9．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意可知两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则， 设，， 所以，所以，A选项正确. 点到平面与平面的距离和为为定