2024年中考数学压轴题复习讲义：材料阅读理解与性质探究题型

2024中考压轴题系列讲义：材料阅读理解与性质探究题型 一.代数解法探究题型 【解题思路梳理】 是基于方程(或不等式)解法的探究题型，解题思路是“解题思路的延续性”或“复制粘贴、略作修改” 【范例详解】 例1.对于 “已知x+y=1,求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的： ∵x+y=1,∴y=1-x,∴xy=x(1-x)=x-x2=-(x-)2+,∴xy≤,∴xy的最大值为 请你按照这种方法计算：当2n+m=4(m>0,n>0)时，求的最小值. 【解析】 【典型练习】 1.我们学习了一元一次不等式（组）的解法，请阅读学习一元二次不等式的解题思路方法，并以此解决后面的问题. 【课题学习】如何解一元二次不等式？ 例题：解一元二次不等式x2-4>0. 解：将x2-4分解因式，得x2-4=(x+2)(x-2),∵x2-4>0,∴(x+2)(x-2)>0,根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，则有(1)或(2) , 解不等式（1）得：x>2,解不等式（2）得：x<-2,∴(x+2)(x-2)>0的解集为x>2或x<-2,即一元二次不等式x2-4>0的解集是x>2或x<-2. 【课题总结】解一元二次不等式的过程，体现了数学的化归思想及分类讨论思想。 【问题解决】(1) 解一元二次不等式x2-3x>0. (2)类比一元二次不等式的解题思路方法，直接写出分式不等式<0的解集是_______________; 【解析】(1)解：∵x2-3x>0,∴x(x-3)>0,∴ (1)或(2) , 解不等式（1）得：x>3,解不等式（2）得：x<0,∴一元二次不等式x2-3x>0的解集是x>3或x<0. (2)解：∵<0 , 根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，则有 (1)或(2) , 解不等式（1）得：,解不等式（2）无解,∴分式不等式<0的解集是. 2．阅读材料：基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中我们把叫做正数 a、b的算术平均数，叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？ 解：∵x＞0，＞0∴≥即是x+≥2,∴x+≥2,当且仅当x＝即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 （1）若x＞0，函数y＝2x+，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值． （2）当x＞0时，式子x2+1+≥2成立吗？请说明理由． 【解答】（1）∵x＞0，∴2x＞0，∴2x+≥2＝2，当且仅当2x＝即x＝时，2x+有最小值，最小值为2． （2）式子不成立．理由：∵x＞0，∴x2+1＞0，＞0，∴x2+1+≥2＝2，当且仅当x2+1＝即x＝0时，不等式成立，∵x＞0，∴不等式不能取等号，即不成立． 3.阅读下面材料，解答后面的问题. 解方程： 解：设y=,则原方程化为：y=0, 方程两边同时乘以y得：y2-4=0，解得y=±2，经检验：y=±2是方程y=0的解. ∴当y=2时，=2,解得x=-1;当y=-2时，=-2,解得x=;经检验：x=-1或x=都是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x=-1或x= 上述这种解分式方程的方法称为换元法. 问题：模仿上述方法解方程： 【解析】原方程可化为 设y=,则原方程化为：y=0, 方程两边同时乘以y得：y2-1=0，解得y=±1，经检验：y=±1是方程y=0的解. ∴当y=1时，=1,解得x=1,该方程无解;当y=-1时，=-1,解得x=;经检验：x=是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x= 4.（1）对于任意实数a和b，都有(a+b)2≥0，∴a2-2ab+b2≥0,于是得到a2+b2≥2ab,当公仅当a=b时，等号成立；（2）任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式，即：如果a≥0,则a=,如：2=； 例：已知a>0,求证：. 证明：∵a>0,∴,∴,当且仅当时，等号成立； 请解答下列问题：某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三国家长篱笆围成，如图所示，设垂直于墙的一边长为x米。 （1）若所用的篱笆长为36米，那么： ①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？ ②设花圃的面积为S平方米，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积； （2）若围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【解析】 （1）①由题意得x(36-2x)=144,化简得x2-18x+72=0，解得x=6或12,即垂直于墙的一边的长为6米或12米； ②由题意得S=x(36-2x)=-2x2+36=-2(x-9)2+162,∵-2<0,∴当x=9时，S有最大值，且最大值为162平方