2024中考数学填选压轴题复习讲义

2024中考填选压轴题复习讲义 【知识点与思路梳理】 一.从题目组成要素上分析 (一)点(等分点) (二)线段 (三)角 (四)形 二.从解题思路与方法上分析 思路与方法 【范例详解】 【两个几何习惯的重要性】 例1.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是BC边上一点，且BD=AB，E是AB延长线上一点，连接ED交AC于点F，若∠ADE=∠B，则EF的长度为________ 【解析】(1)依两个几何习惯审题审图：①挖隐藏已知角：如图1，可得∠B=∠ADF=∠C,∠BAD=∠BDA=∠CDF=∠CFD=∠AFE,∠DAF=∠E，即图中存在多组相似三角形；找与已知线段与所求线段联系最紧密的相似三角形；②挖隐藏的已知线段:如图2，则可确定第一组相似三角形，由数学典型模型“一线三等角”易证△BAD∽△CDF，可得,设AD=5a，DF=3a，由图形位置关系可确定第二组相似三角形：△ADF∽△ACD，可得,可得(5a)2=2×5=10，解得a=,即AD=,DF=;由已知条件与所求结论的图形位置可确定第三组相似三角形：△DAF∽△DEA，可得,可得()2=·DE，解得DE=,∴EF=DE-DF= 例2．如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是线段CD上动点，点P在线段AM上（不与点A重 合），且OP＝AB，点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝1.6，当∠CPQ＝90°时，则DM＝ ． 【解析】(1)依两个几何习惯审题审图：①由OP=OA=OB可得∠APB=90°，即PB⊥AM，属几何典型模型“矩形中的十字架模型”，若要添辅助线，过M或P点作矩形边的平行线(或垂线)是最典型常见的添辅助线方法。从图形的角度看，过M点作AD的平行线，将图形线段分割得乱七八糟，不符合几何图形的美感，故考虑过点P作GH//AB，则由GH⊥AD、GH⊥CB、∠APB=90°、∠CPQ=90°在图形中形成了三组几何典型模型“一线三垂直相似模型”（△ADM∽△BPA、△QGP∽△PHC、△AGP∽△PHB）和一个相似典型图形“A字模型”(△AGP与△ADM),要不要全部用，或哪组先用，关键看谁离已知条件的图形位置最近来决定，由图1判断，应先用△QGP∽△PHC、△AGP∽△PHB，后用其它两个模型；②无论哪组相似，都缺少数据支持，引入方程思想解题。 解：过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，如图2，设QG＝a，则DG=CH＝a+1.6，BH＝AG＝4﹣1.6﹣a＝2.4﹣a，由△QGP∽△PHC可得,则PH•PG＝QG•CH，由△AGP∽△PHB可得,则PH•PG＝AG•HB，∴QG•CH= AG•HB，即a·(1.6+a)=(2.4-a)2,解得a=0.9,则GQ=0.9,AG=BH=1.5,DG=CH=2.5,则PH•PG＝QG•CH=0.9×2.5=2.25，设GP=m，则PH=5-m，则m(5-m)=2.25，解得m=0.5或m=4.5(舍去，理由是此时Q不在AD边上)；在图3中，由GP//DM可得GP:DM=AG:AD,即0.5:DM=1.5:4,∴DM= 例3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,∠C=45°,以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在边CD上，若AD=1，则CE=________. 【解析】依两个几何解题习惯审题审图：如图1，这个图上隐藏着很多有用的暗示信息 【解法1】“四点共圆+相似”：由∠ABE=45°、∠ADC=135°及“圆内接四边形对角互补”可知：点A、B、E、D四点共圆，如图2，若连接BD，则由可得∠ADB=∠AEB=45°=∠C,依内接四边形外角等于相对内角可得∠BEC=∠BAD，则△ABD∽△EBC，这样已知条件AD与所求结论CE就建立起了联系：AD:EC=AB:BE=1:，∴EC=； 【解法2】“出现特殊角，必作垂线构造特殊三角形” ①作FE⊥EC交BC于点F，如图3，由△EFC是等腰直角三角形，则∠EFC=45°，∠BFE=135°，则∠ADE=∠EFB,由∠FBE+∠BEF=∠EFC=45°、∠BEF+∠DEA=180°-∠AEB-∠FEC=45°,∴∠FBE=∠DEA，∴△BFE∽△EDA，∴AD:EF=AE:BE=1:，∴EF=,∴EC=； ②也可以这样构造特殊三角形：作EF⊥BC于点F，如图3-1，则需要把已知条件AD的图形位置往右边“拉”，即与Rt△EFC的边建立起联系，可利用AB=AE构造全等三角形来解决，即作AH⊥BC于点H,分别延长AD、FE交于点G，则由∠BAE=∠HAG=90°可得∠BAH=∠EAG，则由∠AHB=∠AGE=90°、AB=AE易得△ABH≌△AEG，可得AH=AG