攻略2 解题有道（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

一、函数与方程思想 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．求数列中的项或最值、求不等式中的参数、求立体几何中面积或体积的最值及求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想转化为函数问题． 方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分 析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题． 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的． 应用一　借助函数关系解决问题 在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解． (2023·广东潮州二模)已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)过点Q和点A(x0，y0)(x0y0≠0)，T的上顶点到直线x＋y＋3＝0的距离为2，如图过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M，N，且＝2，点A，C关于原点对称，点B，D关于原点对称，且＝λ. (1)求的长度； (2)求四边形ABCD面积的最大值． 解析：(1)T的上顶点到直线x＋y＋3＝0的距离为＝2，解得b＝1， 又椭圆T：＋＝1过点Q， 则＋＝1，解得a2＝4， 所以椭圆方程为＋y2＝1， 因为点A在椭圆上， 所以＋y＝1， 由题意直线l的斜率存在， 设过点A的直线l方程为y－y0＝k， 令x＝0，则y＝y0－kx0，令y＝0，则x＝x0－， 即M，N， 由＝2，得＝2， 所以所以k＝－， 所以＝＝＝＝3. (2)由(1)得直线MN的斜率k＝－， 因为＝λ，所以∥， 所以直线BD的方程为y＝－x， 即2y0x＋x0y＝0， 联立解得x2＝， 所以＝， 所以＝2× ·＝， 点A到直线BD的距离d＝， 又因为＋y＝1，所以d＝＝， 由椭圆的对称性可得S△ABD＝S△CBD， 所以四边形ABCD的面积S＝2S△ABD＝·d＝＝， 又＋＝＝5＋＋≥9， 当且仅当＝，即x＝8y＝时取等号， 则≥3，0<≤，所以S＝≤4， 即四边形ABCD面积的最大值为4. 感悟提升 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法． 学生用书↓第132页 应用二　转换函数关系解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解． (2023·山东威海高三期末)若函数f(x)＝ln x与g(x)＝ax－1的图象有且仅有一个交点，则关于x的不等式f<a－3x－4的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：f(x)与g(x)只有1个交点等价于函数h(x)＝ln x－ax＋1 只有1个零点，即a＝只有1个解，令p(x)＝，则p′(x)＝，p′＝0，当0<x<1时，p′(x)＞0，p(x)单调递增，当x>1时，p′(x)<0，p(x)单调递减，并且p(x)>0，所以p(x)max＝p＝1，p<0，函数p(x)的大致图象如下图： 因为a>0，所以a＝1，即原不等式为ln <1－3x－4，即ln ＋3x－4－1<0，令k(x)＝ln ＋3x－4－1，显然k(x)在x>3时是增函数，又k＝0，所以k(x)<0的解集是3<x<4.故选C． 感悟提升 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y＝的单调性巧妙地求出实数a的取值范围．此法也叫主元法. 应用三　构造函数关系解决问题 在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为可利用的函数性质问题，达到化繁为简、化难为易的效果． (2023·山东潍坊三模)已知a＝2 0222 024，b＝2 0232 023，c＝2 0242 022，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c 答案：D 解析：由已知得，ln a＝2 024ln 2 022，ln b＝2 023ln 2 023，ln