专题3.8 重难突破11 立体几何中的截面、交线问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破11　立体几何中的截面、交线问题 类型一　立体几何中的截面问题 考向1　多面体中的截面问题 (多选)(2023·湖北高三四月调研)已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有(　　) A．截面多边形可能是五边形 B．若截面与直线AC1垂直，则该截面多边形为正六边形 C．若截面过AB1的中点，则该截面不可能与直线A1C平行 D．若截面过点A1，则该截面多边形的面积为 答案：ABD 解析：对于B项，如图①所示，在正方体中易证AC1⊥平面A1BD，分别取棱DD1，D1A1，A1B1，B1B的中点G，H，I，J，由中位线的性质可得平面A1BD∥平面EFGHIJ，故AC1⊥平面EFGHIJ，而六边形EFGHIJ显然为正六边形，故B正确； 对于C项，如图②所示，连接AC、BD交于O点，记平面AD1和平面AB1的中心分别为G、H， 易知G，H，E，F共面(即符合要求的截面)． 连接A1O、CO交GH、EF于N、M两点， 由中位线性质可得N，M为A1O，CO的中点， 故A1C∥MN，又因为A1C⊄平面GHEF，MN⊂平面GHEF，所以A1C∥平面GHEF，所以C项错误； 对于AD项，如图③所示，延长EF分别与直线AB，AD交于P，Q两点，连接A1P、A1Q交棱B1B，D1D于S，T两点，则五边形A1SEFT为所得截面，A正确；S＝S△A1PQ－S△SEP－S△TQF＝，故D正确． 故选ABD． 学生用书↓第55页 考向2　球的截面问题 (多选)(2023·安徽淮南二模)如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是(　　) A．AO⊥平面BCD B．球O的体积为π C．球O被平面BCD截得的截面面积为π D．球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为π 答案：ABD 解析： 对于A，设E，F分别为AB，CD的中点，连接ME，EN，NF，MF，EF，AN，DN， 则EM∥BD，NF∥BD，EM＝BD，NF＝BD，故EM∥NF，EM＝NF，则四边形MENF为平行四边形，故EF，MN交于一点，且互相平分，即O点也为EF的中点， 又AB＝AC，DB＝DC，故AN⊥BC，DN⊥BC，AN∩DN＝N，AN，DN⊂平面AND，故BC⊥平面AND，由于O∈MN，MN⊂平面AND，则AO⊂平面AND，故BC⊥AO，结合O点也为EF的中点，同理可证DC⊥AO，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面BCD，故AO⊥平面BCD，故A正确；对于B，由球O的表面正好经过点M，则球O的半径为OM， 棱长为2的正四面体ABCD中，AN＝DN＝，M为AD的中点，则MN⊥AD，故MN＝＝＝，则OM＝，所以球O的体积为π×OM3＝π×3＝π，故B正确；对于C，由BC⊥平面AND，BC⊂平面BCD，故平面AND⊥平面BCD，平面AND∩平面BCD＝DN，由于AO⊥平面BCD，延长AO交平面BCD于点G，则OG⊥平面BCD，垂足G落在DN上，且G为正△BCD的中心，故NG＝ND＝，所以OG＝＝＝，故球O被平面BCD截得的截面圆的半径为＝，则球O被平面BCD截得的截面圆的面积为π×2＝，故C错误；对于D，由A的分析可知，O也为棱AC，BD中点连线的中点，则球O与每条棱都交于棱的中点，结合C的分析可知，球O被正四面体ABCD的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径都为，故球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为4×2π×＝π，故D正确．故选ABD． 感悟提升 空间几何体作截面图的方法 1．直接法.2.平行线法.3.延长法.4.辅助平面法．　　 针对练1.(多选)如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列结论正确的是(　　) A．平面α截直四棱柱ABCD A1B1C1D1所得截面的形状为四边形 B．平面α截直四棱柱ABCD A1B1C1D1所得截面的面积为 C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25 D．点A1到平面α的距离与点B到平面α的距离之比为1∶3 答案：BC 解析： 对于A，如图，延长EF分别与DA，DC的延长线交于点P，Q，连接D1P，交AA1于点M，连接D1Q，交CC1于点N，连接ME，NF，则平面α截直四棱柱ABCD A1B1C1D1所得截面为五边形D1MEFN，故A错误； 对于B，由平行线分线段成比例可得，AP＝BF＝1，故DP＝DD1＝3，则△DD1P为等腰直角三角形，由相似三角形可知AM＝AE＝1，故A1M＝2，则D1M＝D1N＝2，ME＝EF＝FN＝，连接MN，易知MN＝2