专题3.7 重难突破10 立体几何中的动态问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破10　立体几何中的动态问题 类型一　动点轨迹问题 (1)(多选)已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是(　　) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 (2)在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AD的中点，P为线段C1D上的动点，则直线A1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长度为(　　 ) A． B． C． D． 答案：(1)ACD　(2)C 解析：(1)如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以∠MND＝，所以DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B，在Rt△MDN中，DN＝＝＝2，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝DN＝，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以E为圆心，为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确；对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；对于D，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，设N(x，y，0)，则＝(0，4，0)，＝(x，y，－4)，因为D1N与AB所成的角为，所以|cos〈，〉|＝cos ，所以＝，整理得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．故选ACD． (2)如图，连接B1D1， 因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以B1D1∥EF，则B1，D1，F，E四点共面．连接A1C1，A1D，设A1C1∩B1D1＝M，A1D∩D1F＝N，连接MN，则点Q的轨迹为线段MN，易得A1D＝＝4，△A1ND1∽△DNF，且＝2，所以A1N＝A1D＝.易知A1C1＝C1D＝A1D＝4，所以∠C1A1D＝60°，又A1M＝2，所以在△A1MN中，由余弦定理可得MN2＝A1N2＋A1M2－2A1N·A1Mcos ∠MA1N＝，所以MN＝，即点Q的轨迹长度为.故选C． 感悟提升 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 1．几何法：根据平面的性质进行判定． 2．定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算． 3．特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除． 针对练1.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E为CC1 学生用书↓第54页 的中点，P在对角面BB1D1D内运动，若EP与AC成30°角，则点P的轨迹为(　　) A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 答案：A 解析：因为在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，AA1与底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以该平行六面体ABCD -A1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥对角面BB1D1D．取AA1的中点F，连接EF(图略)，则EF∥AC．因为EP与AC成30°角，所以EP与EF成30°角．设EF与对角面BB1D1D的交点为O，则EO⊥对角面BB1D1D，所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面圆周．故选A． 针对练2.(多选)(2023·山东淄博一模)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点，则下列结论正确的是(　　) A．存在唯一点P，使得D1P⊥B1C B．存在唯一点P，使得直线D1P与平面ABCD所成的角取到最小值 C．若＝，则三棱锥P-BB1C外接球的表面积为8π D．若异面直线D1P与A1B所成的角为，则动点P的轨迹是抛物线的一部分 答案：BCD 解析：对于A选项，正方形BCC1B1中，有BC1⊥B1C，正方体ABCD-A1B1C1D1中，有AB⊥平面BCC1B1，因为B1C⊂平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又BC1∩AB＝B，BC1，AB⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，只要D1P⊂平面ABC1D1，就有D1P⊥B1C，P在线段AB上时，有无数个点满足条件，A选项错误；对于B选项，D1D⊥平面ABCD，直线D1P与平面ABCD所成的角为∠