专题3.6 重难突破9 球的切、接、截面问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破9　球的切、接、截面问题 类型一　球的截面问题 在正三棱锥P-ABC中，Q为BC中点，PA＝，AB＝2，过点Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面面积的取值范围为________． 答案： 解析：因为正三棱锥P-ABC中，PB＝PC＝PA＝，AC＝BC＝AB＝2， 所以PB2＋PA2＝AB2，即PB⊥PA，同理PB⊥PC，PC⊥PA，因此正三棱锥P-ABC可看作正方体的一角，如图．记正方体的体对角线的中点为O，由正方体结构特征可得，点O即是正方体的外接球球心，所以点O也是正三棱锥P-ABC外接球的球心，记外接球半径为R，则R＝ ＝，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过点Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大为Smax＝πR2＝.又Q为BC中点，由正方体结构特征可得OQ＝PA＝；由球的结构特征可知，当OQ垂直于过点Q的截面时，截面圆半径最小为r＝＝1，所以Smin＝πr2＝π.因此，过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面面积的取值范围为. 感悟提升 解决球的截面问题抓住以下几个方面 1．球心到截面圆的距离． 2．截面圆的半径． 3．直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形)．　　 针对练1.设球心O是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体棱的中点作球O的截面，则最小截面的面积为(　　) A．3π B．4π C．5π D．6π 答案：B 解析：当球心O到截面圆心连线与截面圆垂直时，截面圆的面积最小，由题意，正方体棱的中点与O的距离为2，球的半径为2，所以最小截面圆的半径为＝2，所以最小截面面积为π·22＝4π.故选B． 针对练2.已知棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为________． 答案： 解析：法一：由题意得△ACB1为边长为2的正三角形，故所求的球的截面面积为该等边三角形的内切圆的面积，所以此内切圆的半径r为r＝×tan＝，所以所求圆的面积为S＝π×＝. 法二：因为正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，球O与该正方体的各个面相切，则球O的半径为1， 设E，F，G分别为球O与平面ABCD，平面BB1C1C，平面AA1B1B的切点， 则等边三角形EFG为平面ACB1截此球所得的截面圆的内接三角形，由已知可得EF＝EG＝GF＝，所以平面ACB1截此球所得的截面圆的半径r＝＝，所以截面的面积为π×2＝. 类型二　外接球问题 考向1　墙角模型 (1)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　) A．8π B．4π C．2π D．π (2)(2023·山东枣庄二调)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则S△PAB＋S△PAC＋S△PBC的最大值为____________． 答案：(1)D　(2)8 解析：(1)因为点E，F分别为PA，AB的中点， 所以EF∥PB．因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中，如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥PABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π3＝π.故选D． (2)设PA＝a，PB＝b，PC＝c，因为三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，所以由长方体模型可知，＝2，即a2＋b2＋c2＝16.S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝≤[(a2＋b2)＋＋]＝×32＝8，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．所以S△PAB＋S△PAC＋S△PBC的最大值为8. 感悟提升 墙角模型是三棱锥中有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的一类模型，常用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长．若长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R，则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝.常见的有以下三种类型： 学生用书↓第52页 考向2　对棱相等模型 在三棱锥A-BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥ABCD外接球的表面积为________． 答案： 解析：构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则a2＋b2＝9，b2＋c2＝4，c2＋a2＝16，所以2(a2＋b2＋c2)＝9＋4＋16＝2