专题3.5 重难突破8 空间几何体的表面积与体积（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破8　空间几何体的表面积与体积 类型一　空间几何体的侧面积、表面积 (1)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的侧面积是(　　 ) A．π B．π C．π D．π (2)(多选)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　　 ) A．π B．(1＋)π C．2π D．(2＋)π 答案：(1)C　(2)AB 解析：(1)如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D． 因为AE＝AD，AD＝，所以AE＝×＝，所以PE＝＝.设圆柱底面半径为r，则r＝AE＝，所以圆柱的侧面积S＝2πr·PE＝2π××＝.故选C． (2)如果绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为，所以所形成的几何体的表面积S＝π×1×＋π×12＝(＋1)π.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个共底面的圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边上的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，长是1，所以形成的几何体的表面积S′＝2×π××1＝π.综上可知，形成几何体的表面积是(1＋)π或π.故选AB． 感悟提升 1．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 2．多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积注意衔接部分的处理．　　 针对练1.(2023·山东潍坊一模)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为(　　) A． B． C． D．8π 答案：C 解析：假设圆锥半径为R，母线为l，则R＝1.设圆台上底面为r，母线为l1，则r＝.由已知可得，＝＝，所以l＝6.如图，作出圆锥、圆台的轴截面， 则有＝＝，所以l1＝4.所以圆台的侧面积为πl1＝4×π＝π.故选C． 针对练2.(多选)已知四棱台ABCD -A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1＝CC1＝2，则下列结论正确的是(　　 ) A．该四棱台的高为 B．AA1⊥CC1 C．该四棱台的表面积为26 D．该四棱台外接球的表面积为16π 答案：AD 解析：对于A，由棱台的性质，把四棱台还原为四棱锥如图所示．由题易知点S在平面A1B1C1D1和平面ABCD的射影分别为点O1，O，连接OS，OA，则O1在OS上，由AB＝2，A1B1＝，可知△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2，则SA＝2AA1＝4，AO＝2，则SO＝2，OO1＝，即该四棱台的高为，故A正确；对于B，因为SA＝SC＝AC＝4，所以AA1与CC1的夹角为60°，不垂直，故B错误；对于C，该四棱台的表面积S＝S上底＋S下底＋S侧＝()2＋(2)2＋4×× ＝10＋6，故C错误；对于D，由于上、下底面都是正方形，则外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1＝，B1O1＝1，则OB1＝2＝OB，即点O到点B与点B1的距离相等，所以该四棱台的外接球的球心为O，半径r＝2，所以该四棱台外接球的表面积为16π，故D正确．故选AD． 类型二　空间几何体的体积 考向1　直接利用公式求体积 (2023·重庆一模)如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念．何尊的形状可近似看作是由上部分圆台和下部分圆柱的组合体，组合体的高约为40 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为18 cm.取π的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为1 296 cm2，则该组合体上部分圆台的体积约为(　　) A．6 448 cm3 B．6 548 cm3 C．5 548 cm3 D．5 448 cm3 答案：A 解析：设圆柱的高为h cm，则h＝＝＝24(cm)，则圆台的高h′为16 cm，设圆台上底面的面积为S cm2，下底面的面积为S′ cm2，则V圆台＝h′＝×16×(3×142＋3×92＋)＝6 448(cm3)．故选A． 考向2　割补法求体积 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________． 答案： 解析：如图，过AD作与底面ABCD垂直的平面交EF于点G，过BC作与底面ABCD垂直的平面交EF于点H，则多面体ABCDEF被分为三棱锥E-ADG，三棱柱ADG -BCH，三棱锥F-HBC三部分．依题意，三棱锥E ADG的高EG＝，直三棱柱AGD